Monotónica "Subfunción"

Question

Vamos $f$: $\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ ser una función arbitraria.

Deben existir $E\subseteq\mathbb{R}$ del tamaño de la continuidad, de tal manera que $f$ restringido a $E$ es monótona?

Supongo que esta pregunta se puede generalizar a funciones de $\kappa\longrightarrow\kappa$, $\kappa$ infinito.

Answer 1

La respuesta es no. Esto se deduce de la siguiente.

Reclamación (Sierpinski, Zygmund): existe una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que para cada a $A \subseteq \mathbb{R}$ si $A$ tiene un tamaño de continuo, a continuación, $f \upharpoonright A$ no es Borel.

Prueba de dibujo: Construcción $f$ tal que para todos los valores de la función $g$ $dom(g)$ innumerables Borel, $\{x \in dom(g) : f(x) = g(x)\}$ tiene un tamaño de menos de continuo.