Equivalencia de dos grupos de Lorentz

Question

¿Cómo puedo probar que $O(3;1)$ y $O(1;3)$ son del mismo grupo?

Answer 1

) Definir el grupo de Lie

$$\tag{1} O(p,q)~:=~ \{\Lambda\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) ~|~\Lambda^T\eta\Lambda= \eta \}$$

de matrices pseudo-ortogonales $\Lambda$ para la métrica

$$\tag{2} \eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag} (\underbrace{1,\ldots,1}_{p~\text{times}},\underbrace{-1,\ldots -1}_{q~\text{times}}), \qquad n~=~p+q.$$

II) los grupos $O(p,q)=O(q,p)$ son iguales ya que la señal total de la métrica $\eta_{\mu\nu}\to -\eta_{\mu\nu}$ no importa en la definición

$$\tag{3}\Lambda^T\eta\Lambda~=~ \eta.$$

Answer 2

Las matrices $M$ $O(3,1)$ $O(1,3)$ son definidos por la condición $$M G M^T = G$$ para $$G=G_{1,3} ={\rm diag} (1,1,1,-1)\text{ and } G=G_{3,1} = {\rm diag} (1,-1,-1,-1)$$ respectivamente. Yo uso la convención, donde el primer argumento, se cuenta el número de $+1$'s en el tensor métrico y el segundo cuenta uno de los números negativos $-1$ que siga.

Pero estos dos grupos se diferencian por una permutación de las entradas.

En primer lugar, tenga en cuenta que no importa si tenemos un "sobre todo a los más" o "en su mayoría menos de" métrica. Si cambia el signo general de la métrica a través de $G\to -G$, $MGM^T = G$ seguirá siendo válido.

Segundo, los dos grupos se diferencian por tener la "firma diferente de coordenadas" en el principio o en el final. Pero puede ser permutada alrededor. Si $M$ obedece a la primera condición de $O(1,3)$, $MG_{1,3}M^T =G_{1,3}$, usted puede definir $$M' = P M P^{-1}$$ donde $P$ es la permutación cíclica de la matriz $$P = \pmatrix{0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0}$$ y es fácil ver que $M'$ le obedecen $$M' G_{3,1} M^{\prime T} = G_{3,1}$$ simplemente porque $$M' G_{3,1} M^{\prime T} = PMP^{-1} G_{3,1} P^{-1T} M^T P^T$$ pero $P^{-1}=P^T$ y, fundamentalmente, $$P^{-1} G_{3,1} P = -G_{1,3}$$ Así que todas las $P$'s se combinan o cancelar y uno lo obtiene.

Uno debe tratar de conseguir a través de cada paso de aquí, pero la razón por la que los grupos son isomorfos es realmente trivial: son los grupos de isometrías de "el mismo" espacio-tiempo, uno que tiene tres spacelike y uno timelike dimensión, y que sólo se diferencian por la convención de cómo hemos orden de las coordenadas y si utilizamos una mayoría de los de-más o principalmente-menos métrica. Pero tales cambios de la notación de no cambiar el subyacente de la "física" por lo que los grupos de simetrías de la "mismo" objeto con parámetros de forma diferente debe ser isomorfo.