#%-Subgrupos de Sylow %#% de los clásicos grupos $p$

Question

Que $p$ ser un primer y que $G$ cualquiera de lo clásicos grupos $SL_n(\mathbb{F}_p)$, $O_n(\mathbb{F}_p)$, $SP_n(\mathbb{F}_p)$. Que $P$ sea un Sylow $p$-subgrupo de $G$. ¿Cuál es $P$ como un subgrupo de $G$, es decir, ¿cómo podemos describir las matrices en $P$? Además, ¿cuántos Sylow $p$-subgrupos son en $G$?

Respuestas o referencias son bienvenidas. ¡Gracias!

Answer 1

Como se indica en los comentarios, un subgrupo de Sylow es el grupo $U$ de unipotentes triangular superior matrices en cada caso. Voy a indicar cómo calcular el normalizador de la $U$ $SL_n$ de los casos (los demás puede ser tratada de la misma manera, apuesto). Deje $e_1,\dots,e_n$ ser el estándar de la base de $F^n$ donde $F$ es un campo. Que en realidad se compute el normalizador del grupo de unipotentes triangular superior matrices en esta generalidad, mostrando que es simplemente el grupo $B$ de triangular superior matrices de determinante.

Es obvio que este grupo normaliza $U$. Así que ahora tenemos que demostrar que el normalizador $N$ $U$ está contenido en $B$. El vector $e_1$ es el único vector propio con autovalor $1$ para todos los de $U$ (es decir, la intersección de los núcleos de $1-u$ todos los $u \in U$). De ello se desprende que $Ne_1 \subseteq F e_1$. Del mismo modo, la intersección de los núcleos de $(1-u)^2$ $u \in U$ es el lapso $F \{e_1,e_2 \}$$e_1$$e_2$, y por lo tanto, este lapso es $N$ estable así. Evidentemente uno puede seguir de esta manera para demostrar que $N \subseteq B$, hecho. Ahora usted sabe cuántos subgrupos de Sylow hay.