En el análisis se utilizan a menudo las funciones de prueba de $\phi\in C_{0}^{\infty}(U)$ a fin de hacer algún tipo de deducción sobre otra función $u:U\mapsto\mathbb{C}$.
Por ejemplo, si se puede obtener la conclusión de $\int_{U}u\phi\;dx=0$ por cada $\phi$, entonces podemos concluir $u\equiv0$$U$.
Tengo un par de dudas. Integración por partes muy a menudo viene en situaciones que involucren las funciones de prueba, y el hecho de que son en forma compacta compatible permite lanzar fuera de los límites de las integrales. Puedo ver por qué esto es justificada cuando el conjunto de $U$ es libre, pero si $U$ está cerrada o compacta, podemos utilizar las funciones de prueba de la misma manera? O ¿realmente necesitamos limitarnos a abrir los dominios?
Mi otra pregunta tiene que ver con un ejercicio en el que estoy trabajando. Se nos pide que definamos una débil armónico de la función como aquel que satisface $$\int_{U}u\Delta\phi\;dx=0,$$ y nos pide demostrar que esta condición es equivalente a ser armónica: $\Delta u=0$. En realidad, estamos autorizados a suponer $u$ es continua en a $U$, a pesar de que el resultado es cierto para más general $u\in L^{1}_{loc}(U)$. Pero después de probar esto, se me ocurrió que la lógica anterior que he utilizado en varios otros casos, parece contradictoria a la situación actual. La aplicación de la lógica a la débil armónico condición implica que $u=0$, ya que el $\Delta\phi$ es más o menos una función arbitraria de todos modos, ¿verdad? ¿Cómo se puede resolver esto?
Con las preguntas anteriores resueltos por José de la respuesta (ver más abajo), pensé que sería ir por delante y después de una prueba de la afirmación de que la debilidad de las soluciones a la ecuación de Laplace son realmente soluciones clásicas, al menos bajo la hipótesis de que la solución débil es $\mathscr{C}^{2}(\bar{U})$, y más tarde meramente $\mathscr{C}(U)$. Por supuesto, mucho de lo que se presenta en la prueba se generaliza. De hecho, la primera parte de la prueba es demostrar que el "estándar" mollification de un débil armónica solución es, de hecho, armónica; mediante el concepto de un adjunto, no es difícil extender mi argumento lineal general de la PDE, siempre que se cumplan determinadas condiciones. Por supuesto, lo que sigue no es exclusivo de Laplace de la ecuación de $\Delta u=0$; en particular, debido a que el estándar mollifier $$\eta_{\epsilon}=\frac{C}{\epsilon^{n}}e^{\frac{1}{|x|^{2}-1}}$$ being radial symmetric and harmonic functions satisfying the important mean-value properties. Going one step further, one can easily deduce the theorem for arbitrary weak solutions in $L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mathscr{L},\mu)$, al menos después de la redefinición de dicha función en un conjunto de medida cero.
(Tenga en cuenta que cualquier arcano de referencia del "apéndice", el "texto", etc. se refiere a Evan PDE texto, aunque este teorema no aparecen en el texto; ni siquiera como un ejercicio.)
Prueba.
Asumamos primero $u\in\mathscr{C}^{2}(\bar{U}).$ Luego de la integración por partes (o Verde de la identidad) muestra \begin{align*} 0 &=\int\limits_{U}u\Delta\phi\;dx\\ &=\int\limits_{\partial U}u\frac{\partial\phi}{\partial\nu}\;dS-\int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla\phi\;dx\\ &=-\int\limits_{\partial U}\phi\frac{\partial u}{\partial\nu}\;dS+\int\limits_{U}\phi\Delta u\;dx\\ &=\int\limits_{U}\phi\Delta u\;dx. \end{align*} Por el contrario, es fácil ver que si $u$ es armónica en $U$, $u$ también es débilmente armónico. Por lo tanto, ser una solución débil a $\Delta u=0$ es equivalente a ser un clásico de la solución, al menos cuando se $u\in\mathscr{C}^{2}(\bar{U}).$ ahora reforzar la afirmación suponiendo que sólo $u\in\mathscr{C}(U)$ y reblandecer $u$ (con el estándar radial mollifier $\eta_{\epsilon}$ como se define en el apéndice) con el fin de trabajar de nuevo con una suficientemente suave de la función. Para ese fin, vamos a $\epsilon>0$ dado y definir el conjunto $$U_{\epsilon}:=\{x\in U\;:\;\text{dist}(x,\partial U)>\epsilon\}.$$ ($U_{\epsilon}$ Se obtiene al cortar un trozo de anchura $\epsilon$ a lo largo del perímetro de $U$). Ya que la función $\eta_{\epsilon}(y)$ es compatible en $B(0,\epsilon)$, encontramos que para cualquier $x\in U_{\epsilon}$ fijo, $\eta_{\epsilon}(x-y)$ compacta está apoyado en $U$ (en particular, en $B(x,\epsilon)$) y como tal (como una función de $y$), $$\psi(y):=\eta_{\epsilon}(x-y)\in\mathscr{C}^{\infty}_{0}(U).$$ For fixed $x\U_{\epsilon}$, entonces calcular \begin{align} \Delta u_{\epsilon}(x) &=\Delta_{x}(\eta_{\epsilon}\star u)\\ &=\Delta_{x}\int\limits_{\mathbb{R}^{n}}\eta_{\epsilon}(x-y)u(y)\;dy\\ &=\Delta_{x}\int\limits_{U}\eta_{\epsilon}(x-y)u(y)\;dy\\ &=\int\limits_{U}\Delta_{x}\Big[\eta_{\epsilon}(x-y)\Big]u(y)\;dy\\ &=\int\limits_{U}(-1)^{2}\Delta_{y}\Big[\eta_{\epsilon}(x-y)\Big]u(y)\;dy\\ &=\int\limits_{U}u\Delta\psi\;dy\\ &=0. \end{align} La línea 3 de la siguiente manera de $\text{supp}\{\eta_{\epsilon}(x-y)\}\subset U$ como se discutió anteriormente. La diferenciación bajo el signo integral en la línea 4 se justifica por la continuidad de ambos $u$ continuo y la diferenciabilidad de $\eta_{\epsilon}(x-y)$ como una función de la $x$. La línea 5 se sigue de la regla de la cadena, y por último la línea 7 de la siguiente manera de $u$ ser una solución débil a $\Delta u=0$ y las observaciones anteriores. Nos demuestran que la versión atenuada de la solución débil a $\Delta w=0$ es un clásico de la solución en el dominio restringido $U_{\epsilon}$: $$\int\limits_{U}u\Delta\phi\;dx=0\;\forall\;\phi\in\mathscr{C}^{\infty}_{0}(U)\Longrightarrow \Delta u_{\epsilon}=0\;\text{in}\;U_{\epsilon}$$ para todos los $\epsilon>0$. Vamos a demostrar de que esta hecho en realidad implica un $\Delta u=0$$U$.
Ahora elija $\epsilon'>0$ y poner $$u_{\epsilon\epsilon'}:=\eta_{\epsilon'}\star u_{\epsilon}.$$ Note that $\eta_{\epsilon'}(x-y)$ is supported on $U_{\epsilon}$ whenever $x\U_{\epsilon+\epsilon'}$; in particular, for a fixed $x\in U_{\epsilon+\epsilon'}$, $\eta_{\epsilon'}(x-y)$ is supported on $B(x,\epsilon')$. Since $\eta_{\epsilon'}$ is radial and $u_{\epsilon}$ is harmonic in $U_{\epsilon+\epsilon'}$ (and thus satisfies the mean-value properties there), for such $x$ fijo se calcula en coordenadas polares (como en el Teorema 6 en el texto) \begin{align*} u_{\epsilon\epsilon'}(x) &=\int\limits_{U_{\epsilon}}\eta_{\epsilon'}(x-y)u_{\epsilon}(y)\;dy\\ &=\frac{1}{\epsilon'^{n}}\int\limits_{B(x,\epsilon')}\eta\left(\frac{|x-y|}{\epsilon'}\right)u_{\epsilon}(y)\;dy\\ &=\frac{1}{\epsilon'^{n}}\int\limits_{0}^{\epsilon'}\eta\left(\frac{r}{\epsilon'}\right)\left(\int\limits_{\partial B(x,r)}u_{\epsilon}(y)\;dS(y)\right)dr\\ &=\frac{u_{\epsilon}(x)n\alpha(n)}{\epsilon'^{n}}\int\limits_{0}^{\epsilon'}r^{n-1}\eta\left(\frac{r}{\epsilon'}\right)\;dr\\ &=\frac{u_{\epsilon}(x)}{\epsilon'^{n}}\int\limits_{B(x,\epsilon)}\eta\left(\frac{x-y}{\epsilon'}\right)\;dy\\ &=u_{\epsilon}(x)\int\limits_{B(0,\epsilon)}\eta_{\epsilon}(y)\;dy\\ &=u_{\epsilon}(x). \end{align*} Desde la convolución es asociativa, encontramos que para $x\in U_{\epsilon+\epsilon'}$, $$u_{\epsilon'\epsilon}(x)=u_{\epsilon\epsilon'}(x)=u_{\epsilon}(x)\to u(x)\;\text{uniformly as}\;\epsilon\to0,$$ o $$u(x)=u_{\epsilon'}(x).$$ From what was proven above, $u_{\epsilon'}$ is harmonic in $U_{\epsilon'}$, and therefore so is $u(x)$. Sending $\epsilon'\to0$, we obtain the result for all $x\in$ U, y a la conclusión de que la falta de soluciones a la ecuación de Laplace son, de hecho, suave soluciones en el sentido clásico. QED
(Aquí es un argumento alternativo para rematar la prueba de que $\Delta u=0$$U$, aunque no es muy rigurosa y en realidad puede ser incorrecta):
Ahora, $\Delta u_{\epsilon}\to0$ uniformemente $\epsilon\to0$ en cualquier subconjunto compacto de $U$, y por lo tanto, $\nabla u_{\epsilon}$ $\nabla^{2}u_{\epsilon}$ ambos convergen uniformemente a algún límite en el mismo subconjunto compacto. En consecuencia, dado que $u_{\epsilon}\to u$ pointwise por lo menos un $x\in U$ (de hecho, de manera uniforme para todos los $x$ cualquier $V\subset\subset U$), nos encontramos con $\Delta u$ existe, y $$\Delta u=\lim_{\epsilon\to0^{+}}\Delta u_{\epsilon}=0$$ como se requiere.
