Medición de la masa efectiva

Question

Introducción:

Para evitar cualquier confusión terminológica, se pregunta en el contexto de la Física del Estado Sólido y los semiconductores.

La definición canónica dada para la masa efectiva es que está relacionada con la curvatura de las bandas de conducción y de valencia en la estructura de bandas (dispersión de energía en términos del vector k) para electrones y huecos respectivamente. Así pues, $m_{eff}$ está dada por: $$m_{eff}^{-1} = \hbar^{-2}\frac{\partial^2 E}{\partial k^2} \tag{*}$$

Además, para los agujeros, a menudo hay que distinguir entre los ligeros y los pesados, ya que la estructura de bandas puede contener múltiples bandas de valencia con diferentes curvaturas. Las masas efectivas se suelen tabular en términos de masas de electrones libres, por ejemplo, para el Silicio sabemos que los agujeros pesados tienen $49\%$ la masa del electrón libre y los agujeros ligeros $16\%.$

Pregunta:

• Tengo curiosidad por saber cómo se miden experimentalmente las masas efectivas de un material determinado (GaAs, Ge, ...). ¿Cuáles son los métodos más utilizados? Sería esclarecedor conocer las ideas clave que hay detrás de estos procedimientos experimentales.
• ¿Existen formas directas e indirectas de medir $m_{eff}?$ (indirecta en el sentido de que medimos otros observables de los que podemos inferir de forma fiable cuáles deberían ser las masas efectivas, y directa en el sentido de que un experimento designado únicamente para medir $m_{eff}.$ )
• Si una exposición útil de las ideas implicadas es difícil de aplicar en dicha plataforma, no dude en remitirse a la literatura pertinente donde se ofrece una exposición sólida.

Answer 1

El método que voy a describir se llama Resonancia ciclotrónica y es una buena manera de medir directamente $m^*$ utilizando un campo magnético fijo $\boldsymbol B$ .

El ecuación de movimiento de los electrones en un determinado material, cuando en presencia de un campo magnético $\boldsymbol B$ son

$$ m^*\dot{\boldsymbol v}=-e\boldsymbol v\times \boldsymbol B -\frac{m^*}{\tau}\boldsymbol v\tag{1} $$ donde $\tau$ es el tiempo de relajación de los electrones (en general, $\tau$ es un número muy pequeño, así que por ahora podríamos tomar $\tau=0$ (será importante más adelante). Si tomamos $\tau=0$ entonces la solución de $(1)$ es bien conocida: el electrón se mueve en una órbita circular, con frecuencia angular $$ \omega_c=\frac{eB}{m^*} \tag{2} $$

Midiendo $\omega_c$ para diferentes valores de $B$ podemos obtener una medida muy precisa de $m^*$ . Pero, la pregunta obvia, ¿cómo podemos medir efectivamente $\omega_c$ en un laboratorio? La respuesta es sorprendentemente fácil, como veremos en un momento.

Si, en la situación anterior, encendemos una fuente de luz monocromática (por ejemplo, un láser) con frecuencia $\omega$ habrá un campo eléctrico $\boldsymbol E\;\mathrm e^{-i\omega t}$ y las nuevas ecuaciones de movimiento serán $$ m^*\dot{\boldsymbol v}=-e(\boldsymbol E(t)+\boldsymbol v\times \boldsymbol B) -\frac{m^*}{\tau}\boldsymbol v\tag{3} $$

Utilizando el ansatz $\boldsymbol v(t)=\boldsymbol v_0\;\mathrm e^{-i\omega t}$ y resolviendo para $\boldsymbol v_0$ (dejado como ejercicio), puedes comprobarlo fácilmente en este caso, $\boldsymbol v(t)$ será proporcional a $\boldsymbol E(t)$ (que debería ser más o menos intuitivo). Por ejemplo, si tomamos $\boldsymbol B$ en el $z$ dirección, entonces $\boldsymbol v$ viene dada por $$ \boldsymbol v_0=\frac{e}{m^*}\begin{pmatrix} i\omega-1/\tau&\omega_c&0\\-\omega_c&i\omega-1/\tau&0\\0&0&i\omega-1/\tau\end{pmatrix}^{-1}\boldsymbol E \tag{4} $$ donde $^{-1}$ significa matriz inversa.

Este sistema absorberá la energía de la fuente, de modo que la luz transmitida será menos intensa que la luz entrante. La energía absorbida es simplemente $\text{Re}[\boldsymbol j\cdot\boldsymbol E]$ y como $\boldsymbol j\propto \boldsymbol v$ es fácil comprobar que $$ P\propto \text{Re}\left[\frac{1-i\omega \tau}{(1-i\omega\tau)^2+\omega_c^2\tau^2}\right]\propto \frac{1}{(1-\omega^2\tau^2+\omega_c^2\tau^2)^2+4\omega^2\tau^2} \tag{5} $$

Ahora, si variamos $\omega$ el poder $P$ cambios, y de $(5)$ podemos ver que habrá resonancia cuando $(\omega^2+\omega_c^2)\tau^2=1$ . En la práctica, $\omega\tau\ll 1$ por lo que la frecuencia de resonancia es $\omega\approx\omega_c$ :

$\hspace{100pt}$

donde las líneas corresponden a $\tau=0.1,\;0.5,\;1,\;3$ de verde a azul. Como puede ver, para $\tau\to 0$ la resonancia tiende a $\omega_c$ por lo que midiendo la frecuencia de resonancia obtenemos el valor de $\omega_c$ es decir, el valor de $m^*$ .

Answer 2

Otro método para medir la masa efectiva sería medir la conductividad dependiente de la frecuencia y la resistencia Hall de una muestra. Según Teoría del Drudo podemos obtener una expresión para la conductividad longitudinal $$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1+i\omega\tau}$$ con $$\sigma_0=\frac{nq^2\tau}{m^*}$$ y $n$ es la densidad de electrones (huecos) y $q$ es la carga por electrón (agujero). La densidad de electrones puede determinarse con gran precisión utilizando un Resistencia Hall medición $$R_H=\frac{1}{nq}$$ Esto deja dos incógnitas, $\tau$ y $m^*$ que se puede obtener midiendo y ajustando $\sigma(\omega)$ a la expresión de la teoría de Drude.

Answer 3

Aunque no se utiliza mucho, pero es muy bueno para la visualización es ARPES que mapea directamente la estructura de bandas ( Exmpales :) ). Esto puede ser muy útil cuando se tiene la renormalización de la banda o los efectos colectivos, por lo que ya no es sencillo definir la masa efectiva.