Pregunta: tengo el siguiente Análisis "1"-límite: $$\lim_{t \rightarrow 0}\: \frac{e^{-\frac{t}{4}}}{t} \left(\frac{1}{4t^{\frac{3}{2}}} \int_0 ^\infty \frac{x^3 e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sinh(\frac{x}{2})}dx - \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}} \int_0 ^\infty \frac{x e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sinh(\frac{x}{2})}dx\right).$$
El resultado debería ser $-\frac{\sqrt{\pi}}{6}$. Cómo se calcula?
Motivación: McKean, en la página 242 de su artículo "Selberg de la Traza de la Fórmula Aplicada a una Superficie de Riemann Compacta" de los estados, el poder formal de expansión de la serie: $$\frac{e^{-\frac{t}{4}}}{(4\pi t)^{\frac{3}{2}}} \int_0^\infty \frac{x e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sinh(\frac{x}{2})}dx = \frac{1}{4 \pi t} \left(1 -\frac{t}{3} + O(t^2) \right).$$
Él no da ninguna prueba, así que me decidí a hacer mi tarea y cómputo. Mi enfoque consistió en la definición de: $$f(t):= \frac{e^{-\frac{t}{4}}}{(4\pi t)^{\frac{1}{2}}} \int_0^\infty \frac{x e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sinh(\frac{x}{2})}dx.$$
A continuación, en el cómputo de su expansión de Taylor en $t=0$. El primer término de la expansión de Taylor de la siguiente manera fácil (ver más abajo en "Mi progresa"). Para calcular el segundo término de la expansión necesito:
$$ \partial_t(f(t))_{t=0} = \lim_{t \rightarrow 0} \partial_t(f(t))= \lim_{t\rightarrow 0 } -\frac{f(t)}{4} + \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\cdot\{\text{Limit above}\}.$$
Esta es la razón por la que estoy interesado en el límite anterior. La conjetura resultado de la siguiente manera por McKean declaración y $\underset{t \rightarrow 0}{\lim} f(t) =1$.
Mis avances: Un útil resultado parcial que tengo es el límite, para $n$ extraño: $$\lim_{t\rightarrow 0}\: \frac{1}{t^{\frac{n}{2}}} \int_0^\infty \frac{x^n e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sinh(\frac{x}{2})}dx=\left(\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2i-1}{2}\right)2^n \sqrt{\pi}.$$
Que puedo usar para calcular el primer término de la expansión de Taylor. Su aplicación a la "principal" límite vemos que es de la forma $\frac{0}{0}$. Pero la aplicación de la regla de L'Hospital borramos los $\frac{1}{t}$ desde el denominador sólo para llegar de nuevo a partir de la derivada del numerador, y volvemos a la $\frac{0}{0}$ situación. Me reiteró la regla para algunos pasos, pero no parece llevar a ninguna parte.
Comentario: estoy realmente interesado en la expansión como en McKean, así que si tienes alguna manera de calcular es evitar el límite anterior para mí sería una respuesta completamente satisfactoria. Por otra parte, si ves algún error que he realizado para obtener el límite estaría muy agradecido si usted podría señalarlo. Muchas gracias de antemano!
