Números complejos no estándar y categoricidad

Question

Sea ${}^*\mathbb{C}$ sea un campo de números complejos no estándar (dado, por ejemplo, como una ultrapotencia contable.) Por el principio de transferencia ${}^*\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado de característica cero, y por la construcción como cociente de $\mathbb{C}^\mathbb{N}$ vemos que es de cardinalidad $\mathfrak{c}$ . La teoría de campos algebraicamente cerrados de una característica fija es categórica, por lo que esto demuestra que ${}^*\mathbb{C}$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ en la categoría de campos.

Estoy tratando de entender cómo interpretar este hecho en términos de la no normalización de ${}^*\mathbb{C}$ a saber $\exists x\in {}^*\mathbb{C} \forall r\in\mathbb{R} x \bar x<r$ .

Pregunta: ¿Estoy leyendo correctamente lo anterior para implicar que existe un "valor absoluto" hiperreal en $\mathbb{C}$ que adopta valores infinitesimales, estándar e infinitos?

Esto parece imposible, porque el valor absoluto tendría que ser infinito, finito o infinitesimal en líneas reales en $\mathbb{C}$ y entonces la desigualdad del triángulo cerraría, por ejemplo, la parte infinitesimal bajo sumas. ¿Obtendríamos simplemente una extraña descomposición del plano en tres uniones de rectas, según qué trozo de ${}^*\mathbb{R}$ nuestro valor absoluto cayó en? Para mí sigue sin estar claro que tal descomposición sea posible.

Answer 1

Todos los ultrapoderes de $\mathbb{C}$ de cardinalidad la cardinalidad del continuo son isomorfas a $\mathbb{C}$ como campos. No todas son isomorfas a $\mathbb{C}$ como campos con función unaria adicional $\text{Conj}$ la función conjugada.

Podemos considerar la estructura completa en $\mathbb{C}$ añadiendo símbolos de función, símbolos de relación para cada función y relación en $\mathbb{C}$ incluyendo un símbolo de función unario $\text{Conj}$ . La ultrapotencia $M$ de $\mathbb{C}$ es una extensión elemental de $\mathbb{C}$ con respecto a este lenguaje ampliado, y los elementos de $M$ que satisfagan $\text{Conj}(x)=x$ son un modelo de análisis no estándar. Pero de $\varphi$ es un isomorfismo de campo de $\mathbb{C}$ en $M$ hay poca conexión entre lo que $\varphi$ mapas $\mathbb{R}$ y el modelo no estándar.

Una analogía puede ser útil. Como modelos de la teoría sobre el lenguaje vacío, dos estructuras cualesquiera de la misma cardinalidad son isomorfas. Sin embargo, tal isomorfismo no dice nada útil sobre la relación entre dos grupos de la misma cardinalidad.