Mi pregunta es, el número de ecuaciones siguientes $$ \nabla\cdot E= \frac { \rho }{ \varepsilon }$$ $$ \nabla\times E=- \frac { \partial B}{ \partial t}$$ es 4 mientras que el número de variables desconocidas $E=(E_1,E_2,E_3)$ es 3. Intuitivamente, la ecuación está sobredeterminada y la solución puede no existir a menos que se correlacionen cuatro ecuaciones. ¿Es mi intuición correcta?
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Dori
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La divergencia y el rizo no determinan de manera única un campo vectorial. Por ejemplo, si todos los derivados son cero, cualquier campo constante es una solución. Para determinar el campo, debemos incluir condiciones de límite.
En cuanto a tu pregunta, no estás mirando ecuaciones para los tres componentes de $E$ . Estás viendo ecuaciones para las derivadas parciales de esos componentes, de las cuales hay nueve ( $ \frac { \partial E_x}{ \partial x}, \frac { \partial E_x}{ \partial y}$ ), etc.
Alexey Lebedev
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El campo eléctrico $E$ está determinado únicamente por su rizo (ley de Faraday) y su divergencia (de Poisson) si se asume que el campo debe caer a cero en el infinito. Los dos operadores están efectivamente correlacionados de manera que no sobredeterminan el campo.
Para ver lo que está pasando, supongamos $E_2$ es una solución de la segunda ecuación (rizo) (ley de Faraday). Entonces también lo es $E_1+E_2$ donde $E_1=- \nabla \phi $ es un gradiente de una función escalar. Cualquier función escalar (dentro de lo razonable). (En la jerga matemática, los gradientes están en el núcleo del operador de rizo).
Por lo tanto, necesitas una ecuación más para determinar la función escalar $ \phi $ . Y, voilà, ahí está, la primera ecuación (la de Poisson).
Para ser ordenado, mueva todos los gradientes (cosas con divergencias no nulas) en el $E_1$ campo, de modo que $E$ es la suma de dos componentes con uno ( $E_1$ conocido como el componente longitudinal) sin rizos y el segundo ( $E_2$ (también conocido como el componente transversal) sin divergencia. Qmechanic proporciona fórmulas explícitas para estos componentes en su respuesta a esta pregunta .
Ahora, dado un campo así $E$ se ha construido, ¿hay otros campos que también satisfagan las dos ecuaciones (es decir, que tengan la misma divergencia y rizo)? Por el El teorema de descomposición de Helmholtz esta solución es única, si se requiere que el campo caiga a cero en el infinito "suficientemente rápido". (Se puede ver la definición precisa de "suficientemente rápido" en la referencia, así como la razonabilidad requerida de las funciones involucradas). Por ejemplo, se puede añadir un campo constante y las ecuaciones siguen siendo satisfechas.
Todo esto supone que: 1) $B$ es conocido y no tiene divergencias 2) las corrientes $j$ son tales que la última ecuación de Maxwell está satisfecha.
Actualización. Más sobre la singularidad: Si $E_a$ y $E_b$ tienen divergencias y rizos idénticos, su diferencia $E_d$ tiene cero rizo (y por lo tanto es el gradiente de una función escalar $ \psi $ en un dominio simplemente conectado) y cero divergencia, por lo que $E_d$ es el gradiente de una función armónica (solución de la ecuación de Laplace):
$$E_d=- \nabla \psi \quad , \quad \nabla ^2 \psi = 0$$
Suponiendo que $E$ se pone a cero en las fuerzas del infinito $E_d=0$ (y prueba la singularidad), a través de una aplicación del Teorema de Green. Véase por ejemplo aquí (pdf) .
Sean Bannister
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Veamos esto desde una perspectiva numérica. Tomemos las ecuaciones de Maxwell y resolvámoslas para las derivadas de tiempo. (Aquí, utilizo $ \epsilon_0 = \mu_0 = c = 1$ unidades.)
$$ \begin {align} \nabla \cdot E &= \rho \\ \frac { \partial E}{ \partial t} &= \nabla \times B - j \\ \nabla \cdot B &= 0 \\ \frac { \partial B}{ \partial t} &= - \nabla \times E \end {align}$$
A partir de los datos iniciales de algunas hipersuperficies espaciales, la evolución temporal del campo EM está determinada por las 6 ecuaciones de derivación temporal (2) y (4) anteriores. Las otras dos ecuaciones implican sólo derivadas espaciales y constituyen limitaciones a los datos iniciales.
Para ecuaciones diferenciales generales de esta forma, creo que la conclusión es que las condiciones límite están limitadas. Permítanme restringirme al caso $ \nabla \cdot E = \rho $ y $ \nabla \times E = 0$ . Sabemos que el campo eléctrico en cualquier punto se puede encontrar usando una convolución con la función de Green, es decir, el campo de una carga puntual, junto con una integral de superficie:
$$E(r) = \int_M \frac { \rho (r') (r-r')}{4 \pi |r-r'|^3} \, dV' + \text {nasty surface integral over $ \partial M $}$$
Normalmente la integral de la superficie es ignorada porque tomamos la condición límite en el infinito, pero está definitivamente allí, e implica integrar $E$ directamente en esa superficie (junto con la función de Green).
Pero una vez $ \rho $ es elegido, $E$ está obligado en la superficie a respetar la elección de $ \rho $ . Debe ser porque tenemos, a través de la ley de Gauss,
$$ \int_M \rho dV = \oint_ { \partial M} E \cdot dS = Q$$
En otras palabras, no puedes simplemente poner cualquier elección de $E$ en la superficie como una condición límite. Puedes poner un poco de $E$ que respete la carga total dentro del volumen, y luego tal vez añadir algún extra $E'$ que corresponde a la carga desde fuera del volumen (y por lo tanto es libre de divergencias y rizos), pero esa es toda la libertad que tienes.
En resumen : los datos de la condición límite están restringidos. Las ecuaciones de restricción adicionales eliminan los grados de libertad y deberían hacer que todo coincida.
alwyn
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Las ecuaciones de Maxwell hacen no determinar de manera única $ \mathbf {E}$ y $ \mathbf {B}$ .
En cambio, imponen restricciones a la forma en que los campos pueden coexistir dadas las diferentes configuraciones. Por lo general, hay que proporcionar condiciones límite para obtener la respuesta real; en las situaciones físicas casi siempre hay condiciones límite que devuelven la naturaleza determinística del sistema.
Esto es bastante evidente cuando se intenta resolver las ecuaciones para una varilla en movimiento en un campo magnético variable en el tiempo (pero constante en el espacio). Citando a mi respuesta a la pregunta pertinente
Su problema fundamental es que las ecuaciones de Maxwell (de las cuales la de Faraday La ley es una) no son "causa y efecto". No se puede "conectar" un valor del campo magnético y obtener un valor correspondiente de $ \bf E$ campo inducida por el $ \bf B$ campo. Todas las ecuaciones de Maxwell te dicen que es "¿Qué tipo de $ \bf E$ y $ \bf B$ los campos pueden coexistir dado que tal y tal condiciones".
Tratando de resolver la situación a través de las ecuaciones de Maxwell
Recuerdo haber resuelto una situación similar a través de las ecuaciones de Maxwell y siendo sorprendido por la respuesta.
Las "condiciones iniciales" fueron $ \mathbf {B}= \beta t \hat k$ , $ \rho =0$ (sin cargo), $ \mathbf {J}=0$ (sin corriente).
Resolviendo para $ \mathbf {E}$ utilizando la forma diferencial+microscópica de las ecuaciones de Maxwell (ya que la forma integral sólo puede obtener la valor de $ \bf E$ en ciertas posiciones en muchas ocasiones), lo conseguí:
$$ \mathbf {E}= \hat i (lx + \frac { \beta }{2}y+az+c_1)+ \hat > j(- \frac\beta {2}x+my+bz+c_2)+ \hat k(ax+by+nz+c_3)$$
donde $a,b,l,m,n,c_1,c_2,c_3$ son constantes arbitrarias sujetas a $l+m+n=0$
Tenga en cuenta que esto es un familia de los campos eléctricos (Estableciendo ciertos constantes a cero, obtienes elipses concéntricas IIRC). Todo esto significa es que cualquier $ \bf E$ campo de este tipo puede coexistir con un $ \bf B$ campo.
Implicación para su problema
Esto significa que sus condiciones iniciales son insuficientes/inconsistentes. Junto con tal campo magnético, cualquier tipo de campo eléctrico satisfacer las ecuaciones anteriores puede existir y debe existen.
Así que, además de saber cómo está cambiando tu campo magnético con tiempo, necesitas saber:
- ¿Cuál de estos miles de millones de campos eléctricos está presente
- ¿Dónde está la varilla en relación con este campo eléctrico?
