En la sección de comentarios a Willie Wong respuesta, el siguiente de la serie de Dirichlet: las Riemann $\zeta$-función de Dirichlet $L$-funciones, y Ramanujan la serie $\sum_{n \geq 1}\tau(n) n^{s}$, donde $\tau(n)$ es el coeficiente de $p^n$ en $\Delta(q) = q\prod_{n=1}^{\infty} (1-p^n)^{24}$.
Primera nota de que el $\zeta$-función es un caso especial de Dirichlet $L$-función (es $L$-función del carácter trivial).
Ahora ¿qué es lo que Dirichlet $L$-funciones y Ramanujan la serie tienen en común? Bien, todos ellos son automorphic $L$-funciones.
Un automorphic formulario (para el grupo $\mathrm{GL}_n$ más de $\mathbb P$; hay generalizaciones donde $\mathbb P$ es reemplazado por un número arbitrario de campo $F$ y $\mathrm{GL}_n$ es sustituido por un arbitrario reductora grupo, pero para simplificar las explicaciones, me voy a centrar sólo en el nivel más simple de la generalidad aquí) es una función del producto de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)\times \mathrm{GL}_n(\mathbb Z/N\mathbb Z)$ para algún entero $N \geq 1$ que
es
invariantes bajo la natural (en diagonal) acción de $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$;
crece moderadamente en el infinito con respecto a los $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$-coordenadas;
satisface una adecuada ecuación diferencial en el $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$-coordenadas.
En lugar de explicar las generalidades en más detalle (que se puede encontrar en muchos lugares), creo que es mejor para ilustrar ellos:
E. g. Dirichlet personajes surgir en el caso $n = 1$: se definen como funciones
en $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times} =: \mathrm{GL}_1(\mathbb Z/N\mathbb Z)$,
y así podemos hacer en funciones en $\mathrm{GL}_1(\mathbb R)\times
\mathrm{GL}_1(\mathbb Z/N\mathbb Z)$ definiendo a ser trivial en el
$\mathbb R^{\times}$-coordinar.
E. g. Si $f(\tau)$ es un holomorphic de forma modular de peso $k$ y el nivel uno (donde $\tau$ es una mitad superior del plano-variable como de costumbre), podemos hacer que $f$ en una función en
$\mathrm{GL}_2(\mathbb R)$ por la primera identificación de este grupo de matrices con la colección de bases de $\mathbb R^2$, entonces la identificación de $\mathbb R^2$ con $\mathbb C$,
y, a continuación, definir, para cualquier $\mathbb R$base $\omega_1,\omega_2$ de $\mathbb C$,
$f(\omega_1,\omega_2) := \omega_2^{-k} f(\omega_1/\omega_2)$. (Esto supone
que $\omega_1/\omega_2$ es en la mitad superior del plano-en lugar de la inferior,
para la simplicidad.) De este modo obtenemos una función de la especie (con $N = 1$).
La costumbre, la modularidad, la condición se convierte en la invariancia bajo de $\mathbb GL_2(\mathbb Z)$. El crecimiento moderado de la condición se convierte en la condición de que la transformada de Fourier de expansión de $f$ implica que no sólo las potencias negativas de $e^{2 \pi i \tau}$. La ecuación diferencial es el de Cauchy--Riemann de ecuaciones que expresan holomorphy de $f$.
Mayor nivel de modular las formas de involucrar a los valores de $N$ $ > 1$.
E. g. Maass formas son similares a la del ejemplo anterior, excepto que ahora la
la ecuación diferencial que expresa que un Maass forma es un autovector de la Laplaciano.
Para cualquier fijo de $n$ y fijo $N$, tenemos Hecke operadores que actúan en el espacio
de automorphic formas, marcados por los números primos p $$ no dividir $N$, y así podemos
considere la posibilidad de Hecke eigenforms. En el caso de los caracteres de Dirichlet, el hecho de que son personajes de $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times}$ (en lugar de funciones arbitrarias) puede ser reinterpretada como decir que son Hecke eigenforms.
Por supuesto, Ramanujan $\Delta$ es bien conocido por ser un Hecke eigenform de peso $12$ y el nivel de $1$.
Dado un automorphic Hecke eigenform podemos utilizar el Hecke autovalores para hacer
una de Euler producto de la serie de Dirichlet, que le dará Dirichlet $L$-funciones
para los caracteres de Dirichlet, y Ramanujan del de la serie de Dirichlet para $\Delta$.
(En el carácter de Dirichlet caso, si un primo p $$ divide el conductor de $N$, sólo tenemos un factor trivial en el producto de Euler para que prime; cuando $n > 1$,
y $N > 1$, es un poco más de una batalla de averiguar qué factores de Euler
a poner en el de los números primos dividiendo $p$, pero se puede hacer.)
En realidad, es mejor limitar a cuspidal automorphic Hecke eigenforms.
Cuspidal es un vacuo condición cuando $n = 1$ (es decir, en ese caso estamos de acuerdo en llamar
todo cuspidal), y cuando $n > 1$ reemplazamos "un crecimiento moderado en el infinito" por el "deterioro rápido en el infinito", debidamente interpretado. Voy a asumir que todos mis eigenforms son cuspidal
formulario de ahora en adelante. (E. g. $\Delta$ es cuspidal.)
De esta manera conseguimos una clase natural de $L$-funciones que tiene:
meromorphic continuación a todo el plano complejo, que es en realidad
holomorphic con la única excepción de Riemann, $\zeta$.
Funcional de la ecuación con completamente entendida $\Gamma$-factores. E. g. para un
peso $k$ de forma modular de nivel uno, si $p$th Hecke autovalor es de $a_p$,
entonces el $L$función $\prod_p (1 - a_p p^{-s} + p^{k - 1 - 2})^{-1},$ y el funcional de la ecuación que relaciona $s$ y $k - s$. Por $\Delta$ ya he indicado que $k = 12$. (En general el funcional de la ecuación que relaciona la $L$-serie de un automorphic eigenform con $L$-serie de su "complejo conjugado" adecuadamente entendido, al igual que en el caso de Dirichlet caracteres que no son necesariamente real valorados.)
Conjecturally, todos ellos deben satisfacer el análogo de RH, es decir, todos los no-trivial ceros deben estar en la línea crítica, en el centro de la crítica de la tira.
Nota: por cierto que es fácil cambiar la aparente forma funcional de la ecuación. E. g. si hacemos un cambio de variable $s \mapsto s + 11/2$ en Ramanujan la serie, entonces la ecuación funcional será $s \mapsto 1 -s$
en lugar de $s \mapsto 12 -s $, y la crítica de la línea será de $\Re s = 1/2$, al igual que en el $\zeta$-función del caso.
Todos cuspidal automorphic $L$-funciones pueden ser normaliza de manera similar, de modo que la simetría funcional de la ecuación es $s \mapsto 1 -s$. Esto se llama unitario de normalización, y es común en la automorphic formas de la literatura.
Hasta reescalado, sólo hay countably muchos automorphic eigenforms por completo (solo porque si fijamos el nivel de $N$ y (debidamente versión generalizada de) el peso, el espacio de automorphic formas es finito dimensionales) y así que en total estamos hablando de un tipo especial de sólo countably muchos de Dirichlet de la serie, pero estos parecen ser los que, naturalmente, generalizar $\zeta(s) de dólares.
Por cierto, este punto de vista general, es debido a Langlands, y forma parte de la general, el programa de Langlands.
Otro punto de vista fue dado por Selberg, que se centra más en la captura de la analítica de las propiedades necesarias para obtener buenas propiedades de Dirichlet de la serie, en lugar de partir de una construcción conceptual (como en el automorphic punto de vista). Es decir, él introdujo el Selberg clase de Dirichlet de la serie. Tenga en cuenta que parte de sus axiomas son un producto de Euler, la continuación analítica y funcional de la ecuación.
Mi sensación es que, a pesar de que la gente espera que la Selberg clase de Dirichlet de la serie que más o menos coinciden con la clase de automorphic $L$-funciones, por lo que creo que está a sólo dos puntos de vista sobre la misma pregunta: Langlands se muestra cómo construir una "buena" de la serie de Dirichlet, y Selberg es la escritura de las propiedades de una "buena" de la serie de Dirichlet debe satisfacer. Resulta que el "bueno" de la serie de Dirichlet son tan especiales, sin embargo, que sin embargo intenta recoger, parece que terminan con la misma colección muy especial, a saber, la automorphic.
