Deje$a_n$ sea una secuencia positiva. Demostrar que$$\limsup_{n\to \infty} \left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\geqslant e.$ $
Respuestas
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Puesto que he resuelto este problema hace varios años, no he escrito mi solución de inmediato, para que otros pudieran pensar en este problema. Ahora estoy escribiendo mi propia solución:
Comienza como la solución por Ju'x, es decir, podemos asumir con seguridad que$a_1 = 1$ y supongamos que la desigualdad inversa. Entonces existe$N \in \mathbb{N}$ tal que$$\frac{1+a_{n+1}}{a_n} < e^{1/n}, \qquad n \ge N.$ $ De ahí$$a_N > \frac{1}{e^{1/N}} + \frac{a_{N+1}}{e^{1/N}} > \frac{1}{e^{1/N}} + \frac{1}{e^{(1/N)+(1/N+1)}} + \frac{a_{N+2}}{e^{(1/N)+(1/N+1)}} > \ldots,$ $ es decir,$$a_N > \frac{1}{e^{1/N}} + \frac{1}{e^{(1/N)+(1/N+1)}} + \ldots + \frac{1}{e^{(1/N)+\ldots+(1/N+k)}}, \qquad k \in \mathbb{N}.$ $ Usando$e^{1/n} < 1 + \dfrac{1}{n-1} = \dfrac{n}{n-1}$ obtenemos$$a_N > (N-1)\left( \frac{1}{N} + \frac{1}{N+1} + \ldots + \frac{1}{N+k}\right), \qquad k \in \mathbb{N},$ $ que es imposible, ya que la serie armónica diverge.
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Puntos
8691
Sin pérdida de generalidad podemos suponer $a_1=1$.
Tomando logaritmos y buscando una contradicción, supongamos que existe $0 < \alpha < 1$ tal que para todos los $n$ lo suficientemente grande, $$ \ln \left(\dfrac{1+a_{n+1}}{a_n}\right) = \ln a_{n+1} - \ln a_n + \ln\left(1+\frac{1}{a_{n+1}}\right)\leq \frac{\alpha}{n} $$
A partir de esta desigualdad se deduce que $\ln a_{n+1} - \ln a_n \leq q/n$. Resumiendo, este rendimientos $\ln a_n \leq \alpha\ln n + O(1)$ $\fbox{$a_n \leq C\,n^\alpha$}$ algunos $C > 0$.
Suponiendo (ver más abajo) que podemos probar $\lim a_n = +\infty$, nos encontramos con $$ \ln a_{n+1} + S_n - T_n \leq \ln a_{n+1} + \sum_{k=1}^{n+1}\ln\left(1+\frac{1}{a_k}\right) \leq \alpha \ln n + O(1) $$ con $$ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k},\qquad T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k^2}. $$ Esto es absurdo, porque $T_n$ es insignificante con respecto a $S_n$ y $$ S_n \geq \frac{1}{C} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^\alpha} \sim \frac{1}{C(1-\alpha)}n^{1-\alpha}.$$
Con el fin de demostrar que el $\lim a_n =+\infty$, inicio de $$ \ln a_n \geq -\frac{\alpha}{n} + \ln(1+a_{n+1}) \geq -\frac{\alpha}{n} $$ Esto le da a $\liminf a_n \geq \lim e^{-\alpha/n} = 1$.
A continuación, escriba $\liminf a_n \geq \liminf e^{-\alpha/n}(1+a_{n+1}) \geq 2$, y así sucesivamente... se puede demostrar que los $\liminf a_n \geq K$ para cada entero $K \geq 1$.
