¿Polinomio irreductible significa que no hay raíces?

Question

Si un polinomio es irreducible en $R[x]$ , donde $R$ es un anillo, significa que no tiene una raíz en $R$ ¿verdad?

Por ejemplo, para decir que un polinomio $f(x)\in\mathbb Z[x]$ es irreducible en $\mathbb Q[x]$ equivale a decir que $f(x)$ no tiene ninguna raíz racional. Sólo quiero asegurarme.

Answer 1

Un elemento $a$ de cualquier anillo (incluidos los anillos de polinomios) es reducible si y sólo si existen elementos $b$ y $c$ tal que

• $a = bc$
• $b$ no es invertible
• $c$ no es invertible

En el caso especial de los anillos de polinomios sobre campos un elemento (es decir, un polinomio) $f$ es reducible si y sólo si existen polinomios no constantes $g$ y $h$ tal que $f = gh$ . Esto se debe a que las constantes no nulas son precisamente los elementos invertibles.

La condición de ser irreductible si no tiene ninguna raíz es falsa. Consideremos, por ejemplo, el polinomio

$$ x^4 + 4 x^2 + 3 = (x^2 + 1)(x^2 + 3) \in \mathbb{R}[x] $$

Sin embargo, cuando el anillo de coeficientes no es un campo, algunos coeficientes no son invertibles. El polinomio

$$ 2x \in \mathbb{Z}[x]$$

es reducible, porque es el producto de $2$ y de $x$ , ambos no son invertibles. Sin embargo, $2x \in \mathbb{Q}[x]$ es irreducible; la diferencia clave está en este último caso, $2$ es invertible. Además, hay que tener en cuenta que $2x$ tiene una raíz racional, a pesar de ser irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Answer 2

Lo que usted pide es casi verdadero. Un polinomio irreducible tiene una raíz si y sólo si es lineal. Prueba:

Dejemos que $k$ sea un dominio integral. Supongamos que $f\in k[x]$ es irreducible, es decir, siempre que $f=gh$ Entonces, o bien $g$ o $h$ es una unidad. Supongamos que $a\in k$ es una raíz de $f$ es decir $f(a)=0$ . Realizamos la división polinómica de $f$ por $(x-a)$ , dando lugar a $f=(x-a)g + r$ con $\deg(r)<\deg(x-a)=1$ , lo que significa $r\in k$ . Desde $0=f(a)=r(a)$ se deduce que $r=0$ y por lo tanto, $f=(x-a)g$ con $g\in k[x]$ . Pero como $f$ es irreducible, esto significa que $g$ es una unidad, es decir $f$ es un polinomio lineal.

Answer 3

Sé que hay una respuesta aceptada aquí, pero sólo quería añadir algo para aclarar un par de respuestas para los recién llegados:

Si $F$ es un campo, $f(x)\in F[x]$ es reducible si y sólo si $f(x)$ tiene un cero en $F$ , pero esto sólo es siempre cierto para los polinomios de grado 2 y 3 .

Mark Bennet da un un contraejemplo decente a la afirmación generalizada, y observa que el polinomio que utiliza es de grado 4.

Sin embargo, las cosas son un poco diferentes cuando se trabaja en $Z_n$ ( $Z/nZ$ ). Se puede comprobar la reducibilidad comprobando si $f(n)=0$ para $n\in[0,n-1]$ .

Por ejemplo, $f(x)=x^3+1\in Z_9[x]$ es reducible sobre $Z_9$ porque $f(2)=0$ .

Answer 4

Para ver las cosas de otra manera $$x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)$$

es reducible sobre $\mathbb R$ pero no tiene ningún arraigo real.

Answer 5

Supongamos que $p(a)=0$ cuando $p(x)$ es un polinomio sobre un anillo (conmutativo). Entonces $p(x)=p(x)-p(a)$ y el hecho de que $x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+\dots+a^{n-1})$ para todos $n$ significa que $(x-a)$ es un factor lineal de $p(x)$ - por lo que si el polinomio tiene grado mayor que 1 es reducible.