escala cuántica y clásica de la memoria

Question

En la literatura de la Computación Cuántica (QC), cuando se habla de la simulación de sistemas cuánticos, por lo general viene a través de comparaciones con el clásico analógico digital, tales como: "Clásicamente el tamaño de la simulación de computadora crece exponencialmente con el tamaño del sistema (por ejemplo, tamaño del sistema es el número de variables de $N$)." Más precisamente, vamos a tomar un ejemplo:

Clásico de la simulación de un sistema con $k$ quantum variables:

Tomar para simplificar la costumbre 2-estado del sistema, por ejemplo, de polarización de fotones (estado arriba y abajo): El sistema se compone de $k$ de las partículas, cada una con un 2-dimensional espacio de Hilbert de los estados $\mathcal{H_2},$ correspondiente al total de espacio de Hilbert de $\mathcal{H}=\mathcal{H_2}\otimes \mathcal{H_2}\otimes ...=\mathcal{H_{2^k}},$ con dimensión$2^k.$, por Lo que cada estado de este sistema es descrito por el vector de $2^k$ componentes. Así que a la tienda de uno de esos estados en la memoria, lo que uno necesita para almacenar, al menos, $2^k$ números. Además, para la aplicación de cualquier operador unitario de este sistema, es necesario almacenar una matriz de tamaño $(2^k)^2=2^{2k},$ correspondiente a su número de elementos. Ahora vamos a ver la versión cuántica de estos requisitos:

Quantum de la simulación de un mismo sistema:

La dimensionalidad del total de espacio de Hilbert no cambia, pero el tener acceso a una computadora Cuántica, la $k$ quantum variables corresponden sólo a $k$ bits cuánticos, así que por el contrario en lugar de $2^{2k}$ almacenamiento, sólo necesitamos $k$ bits (qubits para ser correctos) de almacenamiento de aquí, y la central unitaria de la matriz es todavía del mismo tamaño que antes, es decir, con $2^{2k}$ elementos, es decir, para aplicar una transformación unitaria, $2^{2k}$ operaciones lógicas han de llevarse a cabo, incluso en el Ordenador Cuántico.

• Primera pregunta: ¿esto significa que para acceder a los bits en una memoria cuántica toma siempre la constante de tiempo? (depende de la $k$)
• Sería el escenario anterior sobre el cambio de almacenamiento, ya sea para la clásica o cuántica de la simulación, si el $k$ de las partículas son enredados?
• Es la principal razón por la que los ordenadores cuánticos adelantar a su clásico análogos en la eficiencia, el hecho de que la lógica de las puertas puede ser aplicado a los qubits estar en superposición de estados, sin destruir la superposición, por tanto es equivalente a la aplicación de muchas de las operaciones de forma simultánea (es decir, tantas como son los términos de la superposición)? mientras que clásicamente cada término en la superposición sería un grado adicional de libertad, es decir, separar los bits de información a almacenar? Traté de mantener un nivel de generalidad en las preguntas, con el fin de captar el núcleo conceptual de estos asuntos, pero si usted ve un ejemplo específico como aptos para una respuesta, siéntase libre de usar uno.

Answer 1

Después de un tiempo me di cuenta de que el corazón de el cartel de las preguntas son muy pertinentes, y las preguntas difíciles, de las cuales no todas tienen respuestas. Aquí he reformulado/reorganizado las preguntas para facilitar la respuesta.

1) el acceso a la memoria cuántica siempre toma constante de tiempo?

En tanto cuántica y clásica equipos uno podría hacer un sistema físico que puede acceder a muchos de los bits a la vez (o aplicar transformaciones unitarias, todos a la vez). Pero para el ordenador es seguro asumir que el acceso al almacenamiento de toma de tiempo lineal en bits, que no suele ser un obstáculo cuando distinguiendo duro cálculos (intratable = exponencial de los recursos en sistemas de tamaño) de manejable.

2) ¿hay que tener un número exponencial de bits para simular un sistema cuántico? Un operador? ¿Qué acerca de qubits? Es el entrelazamiento de un factor?

Como se señaló en el cartel original, el tamaño de espacio de Hilbert aumenta exponencialmente con el número de sitios en un sistema finito [ver PRL 106, 170501 (2011)]. En particular, si uno piensa en la simulación de un ordenador cuántico de $N$ bits, la dimensión del espacio de Hilbert de los estados es $2^N$. Como para la representación en qubits, es a menudo en el segundo caso, que el $N$ qubits suficiente, pero la pregunta es si cada sistema cuántico puede representar el estado de cada una de las otras en una cantidad de espacio que es polinomial en el tamaño del sistema. La respuesta es sí, porque Hilbert espacios de igual dimensión son fungibles [Cuevas 04].

Como para los operadores, se sabe que el tiempo de evolución puede ser simulado dentro de una corregido un error con el polinomio de recursos para un local de Hamilton por la creación de un aproximado de operador mediante la expansión de operador exponenciales [Lloyd, S. (1996). "Universal cuántica simuladores"]. Estos también pueden ser creados clásicamente suponiendo que uno puede simular un par de base a los operadores de estilo clásico.

La profunda pregunta que queda es si todos los sistemas cuánticos puede ser simulado "eficiente" (en el polinomio de recursos) por un clásico de la computadora. Esta es la complejidad de la cuestión BQP ?$\ne$ PP. Este problema no ha sido resuelto, pero su solución sería muy importante tanto para el cálculo y para la física. Tenga en cuenta que aunque el espacio de Hilbert es grande, el quantum de la simulación se puede hacer sin almacenar la exacta estados, pero al costo de tiempo exponencial [MP Frank 09].

Desde la perspectiva de la física se han hecho algunos avances en la identificación de los sistemas que pueden ser simulados de manera eficiente clásico. Aquí es donde enredo es extremadamente relevante. El uso del tensor de redes ha permitido la simulación de muchas clases de Hamiltonianos basado en el entrelazamiento [Orus 14]. Esto se hace mediante la aproximación de los estados unidos creado por pegado de juntas del producto de los estados con quantum correlaciones, o enredos. Además, hay una versión reciente de DMRG que seguramente resuelve el terreno problema de estado para 1D abertura de Hamiltonianos [Landau 15]. En particular, uno podría esperar parametrizar aproximado de los estados con un polinomio conjunto de parámetros que es lo suficientemente densa como en el exponencialmente gran espacio de Hilbert para hacer aproximadamente manejable [Verstraete 15]. Aunque esto no está pensado para ser posiblemente por muchos, como sería de gran suavizar el poder de la computación cuántica más clásica, los resultados en cualquier dirección son muy útiles!

3) ¿por Qué son las computadoras cuánticas mejor (en la simulación de la física cuántica)?

Esta es una pregunta muy difícil, y muchos dirían que la complejidad del problema que acabamos de mencionar se necesita ser resuelto por nosotros para hacer la afirmación de que los ordenadores cuánticos son mejores. Sin embargo, podemos preguntarnos por qué hemos encontrado algoritmos cuánticos que son mejores que las de nuestros mejores ideas para el clásico de los equipos. Creo que la mejor respuesta a esta pregunta en stackexchange está en este post.