Surgen factores automorfas generales de alguna forma canónica?

Question

Descargo de responsabilidad: nada de lo que voy a decir yo entiendo particularmente bien; correcciones y aclaraciones no sólo son bienvenidos, pero será aceptado con gran gratitud.

El artículo de la wikipedia sobre los Factores de Automorphy da el más cercano a una definición intuitiva de automorphic forma que he encontrado. Parafraseando:

Dado un grupo de $G$ que actúa sobre un complejo-analítica colector $X$, un holomorphic función de $f\colon X\to\mathbb C$ se llama automorphic si la acción natural de la $G$ $f$ conserva el divisor de $f$.

A partir de esta definición, a mi entender, es que uno puede asociar a cada automorphic forma $f$ y el elemento $g\in G$ una función de $j_g\colon X\to\mathbb C$$f(gz)=j_g(z)f(z)$.

Es claro que $j_g$ es holomorphic y en ninguna parte de cero. Además (basado en lo poco que he recogido a partir de J. S. Milne notas en Modular las Funciones y las Formas Modulares), tenemos que $j_g$ satisface la cocyle condición a partir de $$j_{gh}(z)=\frac{f(ghz)}{f(z)}=\frac{f(ghz)}{f(hz)}\frac{f(hz)}{f(z)}=j_g(hz)j_h(z)$$

Esto motiva que se define un factor de automorphy a ser una función de $j\colon G\times X\to\mathbb C$ de manera tal que las restricciones a $j_g\colon X\to\mathbb C$ son holomorphic y en ninguna parte de cero, y tal que $j$ satisface la cocyle condición.

Entonces podemos pensar que las funciones automorphic en relación a los factores específicos de automorphy. En cierto sentido, si dos funciones tienen los mismos factores de automorphy, entonces ellos son homogéneos con respecto al grupo de acción de la misma manera, de ahí su cocientes debe a bien definir meromorphic funciones en el cociente $G\backslash X$.

Un ejemplo que me gusta de ilustrar en mi cabeza viene de la consideración de cómo el grupo multiplicativo $\mathbb C^\times$ actúa en $\mathbb C\times\mathbb C\setminus\{0\}$. El cociente es la esfera de Riemann, y un posible factor de automorphy está dado por $\mathbb C\ni z_0\to z_0$. Recordando que holomoprhic funciones de alimentación de la serie de expansiones, es evidente que la condición de $f(z_0z_1,z_0z_2)=z_0f(z_1,z_2)$ tiene soluciones sólo al $f$ es un polinomio homogéneo de grado $1$. Si observamos además que los productos de automorphic factores son automorphic factores, vemos que todos los polinomios homogéneos de grado $k$ son automorphic con respecto a $\mathbb C^\times$ y el factor de automorphy $z_0\to z_0^k$.

En el caso de que $X$ es un subconjunto abierto de $\mathbb C$, Milne demuestra que hemos hecho un canónica factor de automorphy para cualquier (discreta) de acción del grupo sobre el $\mathbb C$ $j_g(z)=(dg)_z$ donde $(dg)_z$ es el diferencial de la acción de la $g\in G$ $X$ evaluado en el punto de $z$$X$. En particular, cuando se $G=SL(2,\mathbb Z)$ actuando en $\mathbb H$ por fracciones de transformaciones lineales, tenemos que el canónica factor de automorphy es$(cz+d)^{-2}$$g=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]$, y el automorphic formas son precisamente los débiles? clásica?) las formas modulares.

Ahora, el artículo de la wikipedia en automorphic factores, define un automorphic factor a ser uno de esos que $|j_g|=|cz+d|^k$$g=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right]$, los cuales son necesarios para hablar de la Dedekind eta función, al parecer.

Mi pregunta tiene tres (pequeño) partes:

1. Es mi analogía con funciones en la esfera de Riemann correcta?
2. Son los automorphic factores (como se define en el artículo de la wikipedia) canónica en cualquier forma, o sólo para el factor de $(cz+d)^k$ surgir de una canónica de la construcción?
3. Es este un marco razonable para tener en la cabeza para la motivación, mientras que el aprendizaje acerca de estas cosas?

Answer 1

Sí, la comparación con "homogéneo" de las funciones en la esfera de Riemann (es decir, complejo proyectiva de un espacio), es buena, en la medida en que los objetos no son realmente funciones en la cosa, pero "global secciones de un vector paquete". Automorphic formas en la mitad superior del plano- $H$ son (en su mayoría) no $\Gamma$-invariante, por lo que no "viven" en el cociente del espacio de $\Gamma\backslash H$.

Por otro lado, una de las modernizaciones de la teoría de la automorphic formas convierte genuinamente a la izquierda $\Gamma$-funciones invariantes en un grupo, tales como $SL(2,R)$, que actúa transitivamente sobre $H$, por ejemplo: para$f(\gamma z)=j(gamma,z)f(g)$, $F(g)=j(g,i)^{-1}f(gi)$ es la conversión. Es un ejercicio para comprobar que $F$ $\Gamma$- invariante. El automorphy factor/cocycle se convierte en derecho equivariance bajo la máxima compacto subgrupo $SO(2)$ fijar el punto de $i\in H$. (Una advertencia: "la mitad-de peso integral", el automorphy factor es tal que el automorphic formas de levantar la _metaplectic_groups_, en lugar de $SL(2,R)$.)

El último contexto correctamente insinúa que, aparte de normalización y engañando, la colección de posibles automorphy factores que realmente está indexado por el (irreductible) las representaciones de la isotropía del subgrupo $SO(2)$ de la base del punto de $i\in H$ (y lo mismo para otros grupos y espacios). Debido a que este grupo es un círculo, su repns son indexados por los enteros $k$,$\pmatrix{\cos\theta & \sin \theta \cr -\sin \theta & \cos \theta}\rightarrow e^{ik\theta}$. En particular, hay evidencia de que las relaciones entre estos. Tenga en cuenta que $cz+d$ $z=i$ e con $c,d$ la parte inferior de las entradas de esta matriz se convierte en $-i\sin\theta+\cos\theta=e^{-i\theta}$.

(El $|cz+d|$ surge por ajuste, el uso de $\Im(gz)=\Im(z)/|cz+d|^2$.)

Así que, sí, sin duda es razonable pensar acerca de automorphic formas como "secciones de una línea de paquete". Sí, las expresiones $(cz+d)^k$ son especiales y canónica. Sí, incluso en el más general de las circunstancias (Siegel las formas modulares, las formas modulares de Hilbert, ...) la línea de haz de punto de vista es útil.