En su mayor parte tienes razón.
La relación entre las estructuras complejas y la métrica proviene de su pasión común por los ángulos.
Básicamente, una estructura compleja en una superficie de Riemann no es más que un procedimiento para girar los vectores tangentes 90° en sentido contrario a las agujas del reloj. (Bueno, en realidad, eso es un estructura casi compleja pero son lo mismo en la dimensión (compleja) 1). Pero esa es una de las cosas que permite hacer una métrica (con una orientación). Así que una métrica sobre una superficie define canónicamente una estructura compleja. Por supuesto, muchas métricas dan la misma estructura (ejemplo 1: se puede reescalar la métrica; ejemplo 2: la esfera $S^2$ tiene muchas métricas pero sólo una estructura compleja).
La buena noción es la noción de conformemente equivalente métrica. A grandes rasgos, dos métricas son conformes si definen las mismas nociones de ángulos entre dos vectores tangentes. Esto significa que son proporcionales entre sí (siendo la razón una función suave positiva en la variedad): estructuras complejas y clases conformes de métricas son básicamente lo mismo. Así pues, la mayor parte de la teoría de las superficies de Riemann puede plantearse de forma equivalente en el mundo holomórfico o en el mundo conforme. (Ejemplo: el teorema de la uniformización dice que "cualquier superficie de Riemann es un cociente de $S^2$ , $\mathbb C$ o $\mathbb H$ " o "Cualquier métrica riemanniana sobre una superficie es conformemente equivalente a una métrica de curvatura constante"). Esta polivalencia es claramente una de las riquezas de la teoría de superficies de Riemann y explica en parte el enorme número de libros de texto dedicados a ella, ya que hay espacio para muchos enfoques diferentes.
Así que hay dos posibles respuestas a tu pregunta: las estructuras relevantes son "estructuras complejas" o "estructuras conformes de Riemann". Esto da la misma noción de redes "equivalentes": dos de ellas son equivalentes si existe un mapa afín que envía una a la otra.
(Se pueden imaginar variantes: por ejemplo, se podría optar por llamar equivalentes a dos redes si existe un mapa que preserva el volumen y que envía una a la otra. En ese caso, hay que enriquecer las estructuras relevantes en el cociente. Por supuesto, cuanto más fina sea la relación de equivalencia en los retículos, más rica será la estructura, pero la equivalencia afín es una opción popular, porque las dos estructuras que he mencionado son muy importantes y muy naturales).
