La expansión continua de la fracción relacionada con la función de generación exponencial

Question

Un reciente Pregunta de SciComp.SE nos motiva a pedir una agradable y continua expansión de la fracción de la siguiente serie de Maclaurin:

$$ f(x) = \sum_ {n=0}^ \infty \frac {B_n\; x^{n+3}}{n! (n+3)} = \int_0 ^x \frac {t^3}{e^t - 1} dt $$

donde $B_n$ son los (primeros) Los números de Bernoulli .

Aunque el poder positivo de $t$ en el numerador del integrando elimina la singularidad en el origen, la función exponencial tiene período complejo $2 \pi i$ . Por lo tanto, el radio de convergencia para la serie anterior es $2 \pi $ la distancia del origen a las singularidades más cercanas.

Donde la convergencia de las series de energía está siempre limitada por la proximidad de las singularidades, las expansiones continuas de fracciones típicamente tienen mayores dominios de convergencia, quizás incluyendo toda la línea real. Tal circunstancia pesa a favor de las aproximaciones racionales sobre las polinomiales en un intervalo real ampliado, y las fracciones continuas agradables a menudo dan valores de partida aptos para un aproximación racional mínimo-máxima .

Answer 1

El método de Viskovatov

Mientras que las funciones reales suaves pueden tener como máximo una expansión convergente en serie de potencias en la vecindad de un punto (serie de Taylor), la expansión de la misma función como fracción continua presenta muchas opciones. Una técnica básica ( Viskovatov, 1806 ) opera sobre el cociente de un par de series de potencias (o polinomios) para producir una fracción continua de tipo Thiele o con ligeras variaciones, una fracción continua de tipo correspondiente :

$$ p(x)/q(x) = c_0 + \cfrac{x^{\alpha_1}}{c_1 + \cfrac{x^{\alpha_2}}{c_2 + \cfrac{x^{\alpha_3}}{c_3 + \cdots}}} $$

donde se supone que $q(0)$ es distinto de cero.

En concreto, tras restar el término constante $c_0 = p(0)/q(0)$ :

$$ p(x)/q(x) = c_0 + \frac{p(x) - c_0 q(x)}{q(x)} $$

Si este último numerador no es idéntico a cero, entonces $p(x) - c_0 q(x) = x^{\alpha_1} r(x)$ ya que tiene una raíz en $x=0$ con multiplicidad $\alpha_1 \ge 1$ . Por lo tanto, en ese caso ampliamos:

$$ p(x)/q(x) = c_0 + \frac{x^{\alpha_1}}{q(x)/r(x)} $$

Por construcción $r(0)$ es distinto de cero, por lo que el método se aplica a $q(x)/r(x)$ y puede continuar hasta que potencialmente se alcance un numerador idéntico a cero en algún momento. Las fracciones terminales son entonces esencialmente expresiones racionales en $x$ .

Truncando dicha expansión, omitiendo la elipsis en alguna etapa, se obtienen expresiones racionales análogas a formas de multiplicación anidada de polinomios en que las divisiones sustituyen a las multiplicaciones, especialmente en el caso simple en que los exponentes $\alpha_i$ son siempre uno:

c0 + x/(c1 + x/(c2 + x/(c3 + ...)))

Se puede observar cierta regularidad en la expansión de la fracción de Thiele en torno a $x=0$ de la función $f(x)/x^3 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k x^k}{k!(k+3)}$ :

$$ \frac{f(x)}{x^3} = \frac{1}{3} + \cfrac{x}{-8 + \cfrac{x}{-\frac{15}{16} + \cfrac{x}{8 + \cfrac{x}{\frac{7}{5} + \cfrac{x}{-8 + \cfrac{x}{-\frac{27}{16} + \cfrac{x}{8 + \cfrac{x}{\frac{275}{161} + \cdots}}}}}}}} $$

El lector curioso encontrará algunas más de las constantes:

$$ c_9 = -8, c_{10} = -\frac{144417}{97264} $$ $$ c_{11} = 8, c_{12} = \frac{36954241}{25202043} $$ $$ c_{13} = -8, c_{14} = -\frac{1763915461119}{1034996631248} $$ $$ c_{15} = 8, c_{16} = \frac{53785750138088275}{33572832373135209} $$ $$ c_{17} = -8, c_{18} = -\frac{559934841935054771682651}{394380619248992328976208} $$ $$ c_{19} = 8, c_{20} = \frac{123408586919942234000562495331463}{74004329695604288642520453854805} $$

parecen descartar las conjeturas fáciles sobre las constantes del índice par $c_{2k}$ al tiempo que se confirma la alternancia de apariciones de $\pm 8$ en los índices impar. Para el lector profundamente curioso tengo un apéndice que describe mi implementación en Maxima CAS del método de Viskovatov.

Para comparar con las aproximaciones de Maclaurin dadas en el Antecedentes he elegido expansiones de tipo Thiele de órdenes 4, 12 y 20 (multiplicadas por el factor eliminado $x^3$ ) para que coincida con los grados polinómicos 7, 15 y 23 mostrados anteriormente. En cierto sentido, se trata de una elección conservadora, ya que el hecho de que los coeficientes de Bernoulli de mayor índice impar sean cero permitiría interpretar esos mismos polinomios de Maclaurin como aproximaciones de grado 8, 16 y 24.

Figura 2 Función Debye de tercer orden y sus fracciones de tipo Thiele

El gráfico demuestra que el aumento del orden de expansión no "choca con una pared" como lo hizo la serie de potencias, que el dominio de aproximación parece extenderse suavemente con el aumento de los órdenes.

Apéndice: Implementación de Maxima CAS

Siempre preveo que me van a ladrar las espinillas en todo momento cuando intento realizar cálculos simbólicos con un CAS, y esta experiencia con Maxima estuvo en consonancia. Maxima no tiene ningún tipo de datos para las fracciones continuas, pero proporciona construcciones de series de Taylor y una función para calcular las aproximaciones de Pade. Esta última fue útil para comprobar los resultados de mi método de Viskovatov.

Esta es una función Maxima definida por el usuario que devuelve una expresión racional:

/*
  Maxima function that performs Thiele fraction expansion by
  applying Viskovatov's method to the ratio of two power series.

  viskovatovRat(Variable,PowerSeries0,PowerSeries1,Depth)

    returning a rational expression

  Expands about Variable=0; assumes Depth is nonnegative integer.
  Assumes value of PowerSeries1 at Variable=0 is nonzero.
*/

viskovatovRat(x,p0,p1,n) :=
block ( [a,c,p2],
    c : ev(p0,[x=0])/ev(p1,[x=0]),
    if n <= 0 
       then return(c),
    p2 : ratsimp(p0 - c*p1),
    a : 0,
    if p2 = 0
       then return(c),
    while ev(p2,[x=0]) = 0
    do (
          a : a+1,
          p2 : ratsimp(p2/x)
    ),
    c + (x^a/viskovatovRat(x,p1,p2,n-1))
)$

También he creado una variante que devuelve una lista de constantes más potencias de $x$ que era conveniente para la compactación de la pantalla.

Answer 2

Antecedentes:

De la forma integral se desprende que la función $f(x)$ tendrá una raíz triple en $x=0$ que es monótona creciente y (debido a que el denominador del integrando crece exponencialmente) finitamente acotada por encima (por exactamente $\pi^4/15$ resulta que ).

He aquí algunos valores de función bastante precisos que ilustran esta tendencia:

$$\begin{array}{|r|c|} \hline \text{x} & \text{f(x) (shown rounded)} \\ \hline 1.0 & 0.22480518802594 \\ \hline 2.0 & 1.17634259660700 \\ \hline 3.0 & 2.55221845329080 \\ \hline 4.0 & 3.87705416153119 \\ \hline 5.0 & 4.89989215833058 \\ \hline 6.0 & 5.58585538083094 \\ \hline 7.0 & 6.00316896121307 \\ \hline 8.0 & 6.23962379489192 \\ \hline 9.0 & 6.36657389887547 \\ \hline 10.0 & 6.43192189678183 \\ \hline \end{array}$$

También era evidente en la propia Pregunta que la función tiene una expansión en serie de potencias alrededor del origen, pero que el radio de convergencia es sólo $2\pi$ debido a las singularidades más cercanas (polos). Dado que estas singularidades se "acumulan" en el infinito en el plano complejo, no cabe esperar que una representación de serie de potencias convergente pueda centrarse "en el infinito", es decir, una serie de Laurent.

No obstante, puede resultar conveniente investigarlo con más detalle, tras explorar primero la posibilidad de convertir la serie de Maclaurin en una fracción continua. A continuación, la función de Debye de tercer orden que se está considerando se representa gráficamente junto con sus polinomios truncados de la serie de Maclaurin de orden 7, 15 y 23, para mayor coherencia visual:

Figura 1 Función de Debye de tercer orden y sus polinomios de Maclaurin

Obsérvese la disminución de los rendimientos cerca del radio umbral de convergencia, que la mejora de la aproximación al pasar de orden 15 a orden 23 es leve en comparación con la mejora anterior de orden 7 a orden 15. Como los polinomios no constantes se desvían inevitablemente hacia el infinito, es natural esperar una mejor convergencia de las expresiones racionales (que permiten la asíntota horizontal que se ve aquí).

Gráfico producido usando la interfaz gnuplot de Maxima; publicaré el código de Maxima como GitHub gist una vez que lo haya pulido...

Answer 3

Su término integral $$f(t)= t^3/(e^t-1)$$ puede expresarse como la fracción continua $$f(t) = t^2/(1+t/(2+t/( -{3 \over 2}+t/(-8+t/({5 \over 6}+t/(18+t/(-{7 \over 12} + ... $$

$$f(t) ={ t^2 \over1+ K_{i=2}^\infty{ t \over c_i} }\ where \ c_i = \begin{cases}i\ even \ c_i=(-1)^{(i+2) \over 2}2({i \over 2})^2 \\ i \ odd \ \ \,c_i = (-1)^{(i-1) \over 2}{i \over { {i-1} \over 2}{{i+1} \over 2} } \end{cases} \ $$

Las Fórmulas Fundamentales de Recurrencia de Wallis proporcionan una manera fácil de calcular sus polinomios racionales óptimos. $$ f(t) \approx {h_i \over k_i}$$ $$ h_i = 1 ,\ 0, \ t^2, \ \ \ \ ( 2t^2 ), \ \ (t^3-3t^2), \ \ (-6t^3 +24t^2), (t^4 -8t^2+20t^2),\ ...$$ $$ k_i = 0, \ 1, \ 1, \ \ (t+2), \ \ ({-t \over 2} -3), \ \ \ \ (6t^2 + 24), \ \ \ \ \ \ \ ({t^2 \over 3}+2t+20), \ ...$$ $$ where \ h_i = t*h_{i-2} + c_ih_{i-1} \\ and \ \ \ \ \ k_i = t*k_{i-2} + c_ik_{i-1} \\ i = 2,...,\infty$$