cambio de base para la categoría objetos en espacios topológicos

Question

Yo estaba motivada por esta pregunta, pero la motivación es diferente.

Supongamos que tenemos una interna del objeto de la categoría de espacios topológicos, es decir, un objeto del espacio X y una de morfismos espacio Y, junto con el continuo dominio, el rango y la composición de los mapas de satisfacer el estándar de identidades - estos dan un representable functor de espacios para las categorías. Asociados a esta categoría de objeto (X,Y) tenemos asociado un nervio N(X,Y), que es un simplicial espacio, y podemos tomar geométricas realización.

Supongamos que usted tiene un (surjective) mapa de Z -> X de espacios topológicos. A continuación, puede realizar el cambio de base de este topológico de la categoría, que es una nueva interno de la categoría de (Z, Z x_X Y x_X Z) = (Z,W). Hay un functor (Z,W) -> (X,Y) que representa la única y totalmente fieles functor de una categoría cuyos objetos son representados por Z.

La pregunta es: ¿Bajo qué condiciones en el mapa Z -> X podemos concluir que el mapa geométrico de las realizaciones de |N(Z,W)| -> |N(X,Y)| es un (débil) homotopy equivalencia?

En la geometría algebraica análogas a las preguntas están relacionadas con fielmente plano descenso y pilas.

Sé que las condiciones suficientes son:

• Local en X, el mapa Z -> X tiene secciones
• Z -> X y (X,Y) son realizaciones de los correspondientes diagramas de simplicial conjuntos, con Z -> X surjective

Estoy interesado en criterios más generales. EDIT: Los criterios que yo estaba esperando tal vez algo como:

• X es un CW complejo y Z es un subproducto de subcomplejos (o células), que cubre X
• Z -> X es un buen mapa de puntos reales de variedades algebraicas
• X tiene algún tipo de estratificación sobre la cual el mapa Z se comporta muy bien, como el ser un fibration...

En general quiero reemplazar "abrir" condiciones "cerrado" condiciones.

Ejemplos que no funcionan son: Z es el "discretification" de X, y Z es un subproducto de un subconjunto abierto de X y la complemetary subconjunto cerrado.

(Los ejemplos concretos que me interesa son las categorías de la representación unitaria de los grupos o lineal general de los grupos. El "dominio" del mapa Y -> X es la proyección de un producto cartesiano.)

Answer 1

Hay un par de versiones diferentes de la realización geométrica de simplicial espacios. No es el literal, y que es el mal comportamiento en general. A continuación, hay mejores realizaciones, por ejemplo, la "grasa" de la realización. Todos los buenos tienen el mismo (débil) homotopy tipo.

Si utiliza la buena realización, entonces no importa si se sustituye X, y y Z con las realizaciones de su singular simplicial conjuntos, y esto reduce el problema para el caso en que X, y y Z son simplicial conjuntos. Ya has mencionado uno de los criterios para simplcial conjuntos (que, por cierto, está implícita en su primer criterio). ¿Qué criterios más generales ¿tiene usted en mente?

Answer 2

Si $Z \to X$ admite que las secciones locales de más de un numerable de apertura de la tapa, a continuación, $|N(Z,W)| \to |N(X,Y)|$ es un homotopy de equivalencia (es decir si $X$ es paracompact), no sólo un débil equivalencia. Esto se reduce a un lexema por Segal que dice la realización geométrica de la Cech nervio de un numerable de apertura de la tapa es homotopy equivalente al espacio original. Tenga en cuenta que si $p:Z \to X$ es un Hurewicz fibration, y $X$ es localmente contráctiles, a continuación, $p$ admite que las secciones locales. En realidad, usted podría tomar $p$ a ser un Dold fibration, que es estrictamente más débil que el de ser un Hurewicz fibration, y obtener el mismo resultado.

Si usted está en el buen categoría, $Z \to X$ podría ser un surjective de la inmersión, pero estoy seguro de que usted sabe esto.

En realidad, todo lo que realmente necesitamos es $Z \times_X Y' \stackrel{pr_2}{\to} Y' \to X$ a admitir secciones/Dold fibration más de paracompact espacio/etc y vas a obtener los mismos resultados ($Y' \subset Y$ es el subobjeto de isomorphisms, el fibred producto es tomado a través de la fuente de mapa de $Y'\to X$ y la proyección de la derecha es el objetivo del mapa).