¿Cómo integrar$\int\frac{1}{1+\cos{x}}\ dx$?

Question

He mirado en Wolfram Alpha para una posible solución, pero hace algo que no tiene sentido para mí ... Se dice que deje$u=\tan(\frac{x}{2})$ sin una razón clara de por qué ...

Entonces, ¿cuál sería un primer paso para acercarse a este? He pensado en convertirlo en$\frac{\sec{x}}{\sec{x}+1}$, pero que parece ser infructuosa ...

Answer 1

La sustitución de $t=\tan(x/2)$ es universalmente eficaz método de integración de una función racional de $\cos x$ y/o $\sin x$. Generalmente se llama a la Sustitución de Weierstrass. Por favor vea el enlace para más detalles.

El procedimiento reduce el problema de la integración de una función racional de $\cos x$ y/o $\sin x$ a la integración de una función racional de $t$.

Sin embargo, en muchas situaciones, incluyendo esta, hay maneras más eficientes de proceder.

La manera más rápida, en este caso, es la sustitución sugerida por M. Strochyk.

Otra manera sería multiplicar parte superior e inferior por $1-\cos x$. Terminamos con $$\int \frac{1-\cos x}{\sin^2 x}\,dx.$$ Así que necesitamos a$\int \csc^2 x\,dx$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx$, ambos relativamente conocido.

Answer 2

Insinuación:
ps

Answer 3

La sustitución$u = \tan(x/2)$ es un ser útil conocer. Se transforma la integral de cualquier función racional de$\sin(x)$ y$\cos(x)$ en la integral de una función racional de$u$.

Answer 4

Pista:$$u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ $ then $ $\int\frac{1}{1+\cos{x}}\ dx=\int\frac{\frac{2}{1+u^2}}{1+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\ du=\int du=u+c=\tan\left(\frac{x}{2}\right)+c$$%

Answer 5

Voy a tratar de explicar el método de Wolfram alfa. Se puede utilizar la fórmula para$$\cos2x=\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$ $

Y para esta pregunta que se convierte en$$\cos x=\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$$ and now, You can substitute $ Y = \ tan \ frac {x} {2} $ y utilizar el método para la fracción parcial o de otra manera de resolver el problema adicional por métodos ya conocidos.

Y al final después de sustituto de la integración hacia atrás$Y=\tan \frac{x}{2}$