Contraejemplo sobre UFD

Question

Un lema establece:

Deje$R$ sea un disco flash USB y$F=\operatorname{Frac}(R)$. Deje$d\in R$, entonces la ecuación$a^2=d$ tiene una raíz en$R$ si y sólo si tiene una raíz en$F$.

Por eso quiero preguntar, ¿existe un contraejemplo para esto si$R$ no es un disco flash USB? Sólo sé algunos dominios no UFD integrales como el anillo de los enteros para algunos valores.

Answer 1

Deje$k$ sea un campo y$R=k[x^2,x^3]$, el subanillo de$k[x]$ que consiste en polinomios sin término lineal. Tomando$d=x^2$, la ecuación$a^2=d$ no tiene raíz en$R$ desde$x\not\in R$. Pero$x=\frac{x^3}{x^2}$ es un elemento del cuerpo de fracciones$F$, por lo que sí existe una raíz en$F$.

(Para ver directamente que$R$ no es un disco flash USB, tenga en cuenta que$x^2$ y$x^3$ son tanto irreductible en$R$, pero$(x^2)^3=(x^3)^2$, dando dos factorizaciones distintas de $x^6$).

Answer 2

Usted ya tiene un muy buen ejemplo, pero ya que usted menciona el anillo de los enteros, y para poner esto en un contexto más general:

Un (completo) anillo de enteros algebraicos (la orden) nunca puede funcionar como un contra-ejemplo. El punto es que esas son (básicamente por definición) integralmente cerrado.

Esto significa que cada elemento de la fracción de campo de $R$ que es una raíz de un monic polinomio sobre $R$ ya está en $R$. Desde su ecuación corresponde a un tipo particular de monic polinomio tener una raíz, la afirmación se sostiene para este en particular.

Sin embargo, si usted toma subrings de los anillos de enteros algebraicos (no máxima órdenes) se pueden obtener ejemplos. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[2\sqrt{2}]$ la ecuación de $X^2 = 2$ no tiene solución. Pero $\sqrt{2}$ es de curso en el cociente de campo.

Permítanme terminar con un resumen del argumento para Ufd que tiene la propiedad de la recordó: Una UFD es integralmente cerrado y por lo tanto también es de dos raíz cerrado (esta es una especie nombre común de la propiedad que dar).

Dicho de otra manera, cuando se busca la contra-ejemplos que usted necesita para evitar integralmente los dominios cerrados, ya que todos ellos todavía tienen la propiedad mencionada en su lema.