La idea general es la siguiente. Como el simpléctica colector es afín (en el sentido de afín espacios no en el sentido de la existencia de una conexión afín), cuando se fija un punto de $O$, el colector se convierte en un verdadero espacio vectorial equipado con un no-degenerada forma simpléctica. Una cuantización procedimiento no es sino la asignación de un (Hilbert-) Kahler estructura de completar la estructura simpléctica. De esta manera el verdadero espacio vectorial se convierte en un complejo espacio vectorial equipado con un Hermitian producto escalar y su terminación es un espacio de Hilbert donde uno define la teoría cuántica. Como voy a probar en breve en el posterior ejemplo, simpléctica simetrías se convierte unitario simetrías siempre Hilbert-Kahler estructura es invariante bajo la simetría. De esta manera la evolución del tiempo en Hamilton descripción da lugar a una unitario tiempo de evolución.
Un ejemplo interesante es el siguiente. Considere la posibilidad de un suave globalmente hiperbólico spacetime $M$ y el verdadero espacio vectorial $S$ de lisa soluciones reales $\psi$ de real de Klein-Gordon ecuación de tal manera que ellos tienen de forma compacta compatible Cauchy de datos (en uno y por lo tanto cada Cauchy de la superficie del espacio-tiempo).
Un no-degenerado (bien definido) simpléctica forma está dada por: $$\sigma(\psi,\phi) := \int_\Sigma (\psi \nabla_a \phi - \phi \nabla_a \psi)\: n^a d\Sigma $$
donde $\Sigma$ es un buen spacelike de Cauchy de la superficie, $n$ su normalizado vector normal futuro apunta y $d\Sigma$ el volumen estándar de forma inducida por la métrica del espacio-tiempo. En vista de la KG ecuación de la elección de $\Sigma$ no importa como se puede demostrar fácilmente usando el teorema de la divergencia.
Hay infinitamente muchos Kahler estructuras se puede construir hasta aquí. Un procedimiento (uno de los posibles) es definir un verdadero producto escalar:
$$\mu : S \times S \to R$$
tal que $\sigma$ es continua con respecto a ella (el factor de $4$ surge de la pura después de la conveniencia):
$$|\sigma(\psi, \phi)|^2 \leq 4\mu(\psi,\psi) \mu(\psi,\psi)\:.$$
Bajo esta hipótesis de un Hilbert-Kahler estructura puede definirse como voy a resumir.
Es posible demostrar que existe un complejo espacio de Hilbert $H$ y un inyectiva $R$-lineal mapa de $K: S \to H$ tal que $K(S)+ i K(S)$ es denso en $H$ y, si $\langle | \rangle$ denota el espacio de Hilbert del producto:
$$\langle K\psi | K\phi \rangle = \mu(\psi,\phi) -\frac{i}{2}\sigma(\psi,\phi) \quad \forall \psi, \phi \in S\:.$$
Finalmente, el par $(H,K)$ se determina hasta unitario isomorphisms forma la triple $(S, \sigma, \mu)$.
Verás que, como cuestión de hecho, $H$ es un Hilbertian complexfication de $S$ cuyo antisimétrica parte de el producto escalar es la forma simpléctica. (También es posible escribir la casi compleja estructura de la teoría que se relaciona con la descomposición polar de que el operador que representa a $\sigma$ en el cierre de la real espacio vectorial $S$ equipada con el real producto escalar $\mu$.)
¿Cuál es el significado físico de $H$?
Es que los físicos llaman una partícula en el espacio de Hilbert. De hecho, considerar la bosonic Espacio de Fock, ${\cal F}_+(H)$, generado por $H$.
$${\cal F}_+(H)= C \oplus H \oplus (H\otimes H)_S \oplus (H\otimes H\otimes H)_S \oplus \cdots\:,$$
y se denota por a $|vac_\mu\rangle$ el número de $1$ $C$ visto como un vector en un ${\cal F}_+(H)$
Uno puede definir de ${\cal F}_+(H)$ una representación fiel de bosonic CCR por la definición del operador de campo:
$$\Phi(\psi) := a_{K\psi} + a^*_{K\psi}$$
donde $a_f$ es el estándar de la aniquilación del operador que se refiere el vector $f\in H$ $a_f^*$ la creación de estándares operador que se refiere el vector $f\in H$.
Resulta que, con la definición de la aspiradora expectativa de valores:
$$\langle vac_\mu| \Phi(\psi_1)\cdots \Phi(\psi_n) |vac_\mu\rangle $$
satisfacer el estándar de la Mecha de la prescripción y por lo tanto todos ellos puede ser calculado en términos de los dos puntos de funciónúnica:
$$\langle vac_\mu| \Phi(\psi) \Phi(\phi) |vac_\mu\rangle $$
Por otra parte están de acuerdo con la fórmula válida para Gaussiano estados (como libres de Minkowski de vacío en el espacio-tiempo de Minkowski)
$$ \langle vac_\mu | e^{i \Phi(\psi)} |vac_\mu \rangle = e^{-\mu(\psi,\psi)/2}$$
En realidad, en vista de la GNS teorema de la construcción de la representación de la CCR está determinada únicamente por $\mu$, hasta unitaria de las equivalencias.
El operador de campo $\Phi$ se unta con KG de soluciones en lugar de suave supportly compactada funciones de $f$ como de costumbre. Sin embargo, la "traducción" es simplemente obtenidas. Si $E : C_0^{\infty}(M) \to S$ denota la causal propagador (la diferencia de los avanzados y retrasados solución fundamental de KG ecuación) la costumbre operador de campo se unta con $f\in C_0^{\infty}(M)$ es:
$$\hat{\phi}(f) := \Phi(Ef)\:.$$
El CCR puede ser declarado en ambos idiomas. Alargamientos de los campos con KG soluciones que uno tiene:
$$[\Phi(\psi), \Phi(\phi)] = i \sigma(\psi,\phi)I\:,$$
alargamientos de los operadores de campo con funciones, una vez ha:
$$[\hat{\phi}(f), \hat{\phi}(g)] = i E(f,g) I$$
Cada uno de parámetro-grupo de simpléctica diffeomorphisms $\alpha_t :S \to S$ (por ejemplo, la continua Matanza de isometrías de $M$) dan lugar a una acción en el álgebra de los campos cuánticos
$$\alpha^*_t(\Phi(\psi)) := \Phi(\psi \circ \alpha_t)\:.$$
Si el estado $|vac_\mu\rangle$ es invariante bajo $\alpha_t$, es decir,
$$\mu\left(\psi \circ \alpha_t,\psi \circ \alpha_t\right) = \mu\left(\psi ,\psi \right)\quad \forall t \in R,$$
entonces, básicamente el uso de la Piedra del teorema, uno ve que el dijo continua simetría admite (fuertemente continuo) representación unitaria:
$$U_t \Phi(\psi) U^*_t =\alpha^*_t(\Phi(\psi))\:.$$
La auto-adjunto generador de $U_t= e^{-itH}$ es un operador Hamiltoniano para que la simetría. En realidad, esta interpretación es adecuada si $\alpha_t$ surge por un timelike continua Matando a la simetría. Minkowki vacío se construye de esta manera se requiere que la correspondiente a $\mu$ es invariante bajo la orthochronous grupo de Poincaré.
Toda la imagen que he esbozado es un intermedio entre la "práctica" QFT y el llamado formulación algebraica. Sólo me gustaría hacer hincapié en que la elección de los diferentes $\mu$ generalmente obtener unitarily no equivalentes representaciones de bosonic CCR.
