Considere el campo Número de$L/\mathbb{Q}$. Yo sé que los únicos números primos$p$ que se ramifican más de$L$ son los que dividen$\Delta_{L}$, el discriminante de$L$. Pero lo que si no puedo calcular$\Delta_{L}$? ¿Hay otras maneras de determinar que ceba ramifica sobre$L$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
luka3rd
Puntos
1
La respuesta es, sin duda, sí, con la advertencia de que depende de la forma de especificar las $L$.
Permítanme darles un ejemplo, el de "la ramificación de cálculo," el juego de averiguar la ramificación de los índices mediante el hecho de que esos índices son multiplicativo en torres de extensiones. La idea aquí es utilizar su conocimiento de la previamente determinadas ramificación en otros campos para determinar la ramificación en su campo.
Por ejemplo, si $L\subset \mathbb{Q}(\zeta_p)$ ($\zeta_p$ una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad) es de grado $n\mid p-1$, $p$ es totalmente ramificada (es decir, con ramificación índice$n$) $L$ sólo por el multiplicativity \begin{equation} p-1=e_p(\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q})=e_p(\mathbb{Q}(\zeta_p):L)e_p(L:\mathbb{Q}) \end{equation} y la observación de que $e_p(K_2:K_1)\leq [K_2:K_1]$ para cualquier extensión de $K_2/K_1$. (Por supuesto, uno realmente debe ser cuidadoso acerca de tomar un primer $\mathfrak{p}$ sobre $p$ $L$ y la escritura $e_{\mathfrak{p}}(\mathbb{Q}(\zeta_p):L)$, etc., pero eso no importa.)
En cierto sentido, este ejemplo en particular es sneakily sustitución de la "ramifies si y sólo si se divide el discriminante" de la propiedad con el "ramifies si y sólo si se divide el director de orquesta" de la propiedad, de hecho, este conductor enfoque puede proporcionar una visión más global "sí" a la pregunta original. Mientras que el conductor y el discriminante son, sin duda, vienen de diferentes lugares (en algunas vagas y no particularmente riguroso sentido) . En cualquier caso, tenga en cuenta que usted no tiene que calcular el discriminante de $L$ para este trabajo, la sobrecarga de tiempo de la computación, el discriminante de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es suficiente para dar la ramificación de la información para todos los $L\subset \mathbb{Q}(\zeta_p)$. Un análisis similar se puede hacer para $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, así que si conoces a $L$ es abelian, que tiene una muy buena headstart.
Este tipo de cálculo se puede obtener más elegante y más elegante (y honestamente, es muy divertido trabajar fuera). Por ejemplo, frecuentemente me encuentro con la siguiente situación: Supongamos que usted sabe una extensión de $K/\mathbb{Q}$ tal que $KL/L$ $K/\mathbb{Q}$ fácilmente determinado ramificación. A continuación, la torre de dos-multiplicativity declaraciones
\begin{equation} e_p(KL:L)e_p(L:\mathbb{Q})=e_p(KL:\mathbb{Q})=e_p(KL:K)e_p(K:\mathbb{Q}) \end{equation}
podría dejar de resolver para $e_p(L:\mathbb{Q})$, es decir, determinar la ramificación en $L$, a partir de información conocida acerca de la ramificación en $K$.
Una reflexión final es que existen las relaciones local-global para la ramificación, procedentes de (por ejemplo) que el conductor es un producto de los conductores locales. Información Local puede ser útil para determinar aparentemente no relacionadas al mundial de ramificación --Abhyankar del Lema viene a la mente como una primera instancia de este.
Espero que ayude.
