Continuum entre la suma, multiplicación y exponenciación?

Question

Me di cuenta de este viejo post que intenta encontrar los tonos de gris entre lineal y de registro de la escala en la que los resultados están entre cero y uno.

Sin embargo, yo estaba mirando para el caso más general, donde encontramos la continuidad entre los propios operadores - sumar, multiplicar, y exponenciación o incluso superior.

La función podría ser un hyperoperation$(n,x,y)$ donde $x$ $y$ son los números a operar, y $n$ es permitido para que no sea un número entero para el tipo de operador. Por lo $n=1$'', $n=2$ sería la multiplicación, y la $n=3$ sería de exponenciación. Pero también tendríamos $n=2.5$ ' a la sombra de gris ENTRE la multiplicación y exponenciación, o $n=3.5$ o $4$ para más allá de la exponenciación y tetration).

Quiero que la fórmula para trabajar con números reales, no sólo números enteros. Los pensamientos?

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¿Por qué son la adición y la multiplicación conmutativa, pero no exponenciación?

Algoritmo para tetration para trabajar con números de punto flotante

Answer 1

Hay (al menos) una opción - sin embargo, dependiendo de si una solución para el problema de "fracciones de iteración de logaritmo" está disponible (aka: "Tetration". Tenga en cuenta que en el tetration-foro hay un cambio en los diversos enfoques a este problema).

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Supongamos por el momento que una versión de la que fraccional iteración está disponible, y vamos a denotar $ \log_b^{\circ h}(x) $ $h$- a veces el logaritmo iterado a ciertos base $b$, incluyendo la oportunidad de tener $h$ también fraccional.
Supongamos también que tenemos esta bien definido por el intervalo de $h=-1 \cdots +1$ (así, por $h=-1$ esto significa que en realidad exponenciación), a continuación, $$ f_b(x,y,0) = \exp_b^{\circ 0} ( \log_b^{\circ 0} (x)+\log_b^{\circ 0} (y)) = x+y \\ f_b(x,y,1) = \exp_b^{\circ 1} ( \log_b^{\circ 1} (x)+\log_b^{\circ 1} (y)) = x \cdot y $$ y para $0<h<1$ tenemos a continuación algunos de operación entre el bien definidos: $$ f_b(x,y,h) = \exp_b^{\circ h} ( \log_b^{\circ h} (x)+\log_b^{\circ h} (y)) = x \{\circ _h \} y $$ donde la operación-símbolo del círculo y el índice de $h$ significa que interpolan operación entre "+" (para $h=0$) y "*" ( $h=1$ ).

Ahora vamos a ver, si nuestra hipótesis de la existencia de tales fracciones de iteraciones es justificado/se pueden realizar:

• Si la base de $b$$\exp(1)$, entonces uno puede recurrir a Hellmuth Kneser la solución para las fracciones de iteración de $\exp(x)$, lo que proporciona una expresión analítica para este real para argumentos reales, por lo que entendía las cosas correctamente.
• Pero también se puede utilizar la base de $b$ del intervalo de $1<b< e^{1/e}$ y podría utilizar la más fácil y más comprensible Schröder-mecanismo de una solución para el proceso iterativo de loagrithm/exponenciación. Especialmente el proceder de la base de la $b=\sqrt{2}$ se discute y se describe en broadth y ancho en la tetration-foro.
• En la wikipedia-entrada "tetration" hay algunos datos preliminares para que el problema básico.

(Nota: esto es sólo una ad-hoc-enfoque; no, por ejemplo, ofrecen una solución comparable con la que se podría esperar, cuando nos planteamiento del problema a través de la interpolación de los Ackermann-función, como se indica por Daniel Geisler)

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La adición, la multiplicación y la "mitad de la multiplicación" de las tablas para $x,y=1 \ldots 10$ . He utilizado la base de $b=t^{1/t} \approx 1.01960$ $t=1.01$ para el logaritmo y la exponenciación.

  addition (h=0)           
  2.00000  3.00000  4.00000  5.00000  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  |
  3.00000  4.00000  5.00000  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  |
  4.00000  5.00000  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  |
  5.00000  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  |
  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  |
  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  16.0000  |
  8.00000  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  16.0000  17.0000  |
  9.00000  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  16.0000  17.0000  18.0000  |
  10.0000  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  16.0000  17.0000  18.0000  19.0000  |
  11.0000  12.0000  13.0000  14.0000  15.0000  16.0000  17.0000  18.0000  19.0000  20.0000  |
        -        -        -        -        -        -        -        -        -        -  +
  "half multiplication" h=0.5
  1.12414  2.13905  3.15371  4.16814  5.18232  6.19627  7.20999  8.22349  9.23678  10.2498  |
  2.13905  3.27461  4.40764  5.53823  6.66642  7.79230  8.91591  10.0373  11.1566  12.2738  |
  3.15371  4.40764  5.65639  6.90010  8.13895  9.37308  10.6026  11.8277  13.0485  14.2652  |
  4.16814  5.53823  6.90010  8.25405  9.60035  10.9392  12.2710  13.5959  14.9141  16.2259  |
  5.18232  6.66642  8.13895  9.60035  11.0510  12.4914  13.9219  15.3428  16.7546  18.1575  |
  6.19627  7.79230  9.37308  10.9392  12.4914  14.0302  15.5561  17.0696  18.5714  20.0617  |
  7.20999  8.91591  10.6026  12.2710  13.9219  15.5561  17.1743  18.7772  20.3656  21.9400  |
  8.22349  10.0373  11.8277  13.5959  15.3428  17.0696  18.7772  20.4665  22.1384  23.7936  |
  9.23678  11.1566  13.0485  14.9141  16.7546  18.5714  20.3656  22.1384  23.8908  25.6239  |
  10.2498  12.2738  14.2652  16.2259  18.1575  20.0617  21.9400  23.7936  25.6239  27.4320  |
        -        -        -        -        -        -        -        -        -        -  +
  multiplication (h=1)               
  1.00000  2.00000  3.00000  4.00000  5.00000  6.00000  7.00000  8.00000  9.00000  10.0000  |
  2.00000  4.00000  6.00000  8.00000  10.0000  12.0000  14.0000  16.0000  18.0000  20.0000  |
  3.00000  6.00000  9.00000  12.0000  15.0000  18.0000  21.0000  24.0000  27.0000  30.0000  |
  4.00000  8.00000  12.0000  16.0000  20.0000  24.0000  28.0000  32.0000  36.0000  40.0000  |
  5.00000  10.0000  15.0000  20.0000  25.0000  30.0000  35.0000  40.0000  45.0000  50.0000  |
  6.00000  12.0000  18.0000  24.0000  30.0000  36.0000  42.0000  48.0000  54.0000  60.0000  |
  7.00000  14.0000  21.0000  28.0000  35.0000  42.0000  49.0000  56.0000  63.0000  70.0000  |
  8.00000  16.0000  24.0000  32.0000  40.0000  48.0000  56.0000  64.0000  72.0000  80.0000  |
  9.00000  18.0000  27.0000  36.0000  45.0000  54.0000  63.0000  72.0000  81.0000  90.0000  |
  10.0000  20.0000  30.0000  40.0000  50.0000  60.0000  70.0000  80.0000  90.0000  100.000  |
        -        -        -        -        -        -        -        -        -        -  +

Y a ver que diferentes formas de definir la fracción de recorrer de exponenciación llevar a diferentes multiplicación de tablas que muestran aquí el "medio de multiplicación" tomado por base $b=2$, y el de la aplicación a través de algo que yo llamo el "polinomio tetration" (que se basa en eigendecomposition de la truncado carlemanmatrices, y parece aproximarse a la Kneser-solución cuando el truncamiento que permite un mayor matriz de tamaños)

  "half-multiplication" (h=0.5) by "polynomial tetration", base b=2, matrixsize=16x16
  1.55799  2.75402  3.92565  5.08186  6.22771  7.36568  8.49732  9.62384  10.7460  11.8646
  2.75402  4.31898  5.81047  7.25673  8.67206  10.0641  11.4377  12.7963  14.1424  15.4777
  3.92565  5.81047  7.57736  9.27212  10.9176  12.5260  14.1053  15.6608  17.1964  18.7150
  5.08186  7.25673  9.27212  11.1905  13.0426  14.8449  16.6080  18.3393  20.0440  21.7259
  6.22771  8.67206  10.9176  13.0426  15.0851  17.0659  18.9982  20.8910  22.7508  24.5824
  7.36568  10.0641  12.5260  14.8449  17.0659  19.2138  21.3042  23.3478  25.3524  27.3236
  8.49732  11.4377  14.1053  16.6080  18.9982  21.3042  23.5440  25.7302  27.8714  29.9745
  9.62384  12.7963  15.6608  18.3393  20.8910  23.3478  25.7302  28.0521  30.3235  32.5519
  10.7460  14.1424  17.1964  20.0440  22.7508  25.3524  27.8714  30.3235  32.7197  35.0681
  11.8646  15.4777  18.7150  21.7259  24.5824  27.3236  29.9745  32.5519  35.0681  37.5322

Answer 2

Yo estaba buscando para el caso más general, donde encontramos la continuidad entre los propios operadores - sumar, multiplicar, y exponenciación o incluso superior.

Creo que este es aplicándose de manera relativa a la extensión de la Función de Ackermann para valores no enteros: supongo que podemos llamar el problema de la "no-entero filas problema" porque tiene que ver con Hyperoperations con no entero rango/índice $s$

$$H_s(x,y)=x[s]y=x\uparrow^{s-2}y=G(s,x,y)$$

donde

$H_1(x,y)=x[1]y=x\uparrow^{-1}y=G(1,x,y)=x+y$

$H_2(x,y)=x[2]y=x\uparrow^{0}y=G(2,x,y)=xy$

$H_3(x,y)=x[3]y=x\uparrow^{1}y=G(3,x,y)=x^y$

$H_4(x,y)=x[4]y=x\uparrow^{2}y=G(4,x,y)={}^{y}x$ (Tetration)

Hace unas semanas escribí una respuesta detallada al respecto en la BMV y creo que puede ser interesante su pregunta

Ejemplo $x$, $y$ y $z$ valores de $x\uparrow^\alpha y=z$ donde $\alpha\in \Bbb R-\Bbb N$

De todos modos, en pocas palabras lo que quiero decir es que no hay, que yo sepa, un conocido y aceptado método para encontrar no-entero filas hyperoperations.