Qué es %#% $ #% donde $$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{p_{m+1}}{p_m}\middle|m\in \mathbb{N},m\geq n\right\} = ?$ i'th primer número. Sabemos que existe este limsup por postulado de bertrand que dice para cada número natural $p_i$ allí existe un primer como $n>1$ que $p$.
Respuesta
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Roger Hoover
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Ya que siempre hay un primer entre dos consecutivos, lo suficientemente grande, en cubos (Ingham del teorema - es bastante avanzado el resultado que va en la dirección de la prueba de que siempre hay un primer entre dos cuadrados consecutivos, que es todavía una conjetura) $\limsup$ es sólo una.
Sin embargo, el hecho de que $p_{n+1}-p_n=o(p_n)$ remonta a $1896$ (año de la primera prueba de la PNT por Hadamard y, indipendently, de la Vallée-Poussin), o a $1949$, cuando Erdos y Selberg encontrado su brillante primaria de la prueba.
Esto debido a que para cualquier constante $c>1$, el PNT muestra que $\pi(cn)-\pi(n)$ finalmente es positivo, de ahí que $\limsup$ es menor o igual a $c$ cualquier $c>1$. Ya que es obviamente mayor o igual a $1$, es sólo uno.
