Mínima extensión de la ecuación de onda con dispersión

Question

Digamos que son modelado algún proceso con la ecuación de onda $\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}} = \nabla^{2}\psi$. Desea mejorar su modelo mediante la inclusión de efectos de dispersión, pero desea que su modelo es tan simple como sea posible para tratabilidad computacional.

¿Cuál es el modelo mínimo apropiado para la velocidad de la fase, decir $c \approx c_{0} + c_{2}\omega^{2}$? y ¿cómo debe modificarse la ecuación de onda?

Answer 1

Lo que quiero hacer es cambiar la ecuación de onda en una de Klein-Gordon ecuación:

$$\frac {1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - \nabla^2 \psi + \alpha^2 \psi = 0,$$

donde $\alpha$ es una constante de la dimensión adecuada y por lo general (en la teoría cuántica) dada por

$$\alpha=\frac {m c}{\hbar}.$$

La inserción de un ansatz de la forma

$$\psi=e^{i(kx-\omega t)}$$

los rendimientos de la relación de dispersión

$$\omega^2=c^2(k^2+\alpha^2),$$

de lo cual se puede deducir una expresión para la velocidad de fase, dada por

$$v_{phase}=c\sqrt{1+\frac{\alpha^2}{k^2}}.$$

Usted podría considerar la posibilidad de la lectura de estas notas de la conferencia para más ideas.