Hace un par de días me pidió una solución para $3^a+1=2^b$ donde $a\in \Bbb N$ $b\in \Bbb N$ (Soluciones para la ecuación de diophantine $3^a+1=2^b$), y tengo dos buenas respuestas para esta pregunta.
Pero no lo he preguntado también, para el caso más general $p_1^a+n=p_2^b$ donde $p_1$ $p_2$ son el primer y el $a,b,n\in \Bbb N$. Pero esta parte de mi pregunta fue ignorado, así que aquí me pide maneras de encontrar soluciones para este caso general.
Yo todavía estoy interesado en cualquier $p_1$$p_2$,, pero estoy muy centrado en $p_1=3$ $p_2=2$ porque esto es parte de otro problema que intento resolver.
Me explícitamente estoy interesado en las soluciones de estas ecuaciones:
- $3^a+5=2^b$
- $3^a+7=2^b$
- $3^a+13=2^b$
- $3^a+23=2^b$
- ...
donde $a\in \Bbb N$ $b\in \Bbb N$ e donde $b>2$ ($2^b>4$)
Se supone que $b>2$, usted puede mostrar, que en
$2^b-3^a \equiv n \pmod{24}$
$n$ sólo puede ser $5,7,13$ o $23$
Prueba:
$2^b \pmod{8}$ siempre $0$ cuando $b>2$; $3^a \pmod{8}$ siempre es $1$ o $3$; por lo $2^b-3^a \pmod{8}$ sólo puede ser $5$ o $7$. $3^a \pmod{3}$ siempre es $0$ al $a>0$, pero $2^b \pmod{3}$ nunca $0$, es $1$ o $2$, por lo que también se $2^b-3^a \pmod{3}$ sólo puede ser $1$ o $2$. En conjunto, esto conduce al hecho de que $2^b-3^a \pmod{24}$ sólo puede ser $5,7,13$ o $23$ al $b>2$.
qed
Sabiendo esto, yo estaba buscando diferencias $n$ de las facultades de $2$ menos poderes de $3$ tener $n<100$ y he encontrado esto:
$n=5$:
$3^1+5=2^3 \rightarrow 3+5=8$
$3^3+5=2^5 \rightarrow 27+5=32$$n=7$:
$3^2+7=2^4 \rightarrow 9+7=16$$n=13$:
$3^1+13=2^4 \rightarrow 3+13=16$
$3^5+13=2^8 \rightarrow 243+13=265$$n=23$:
$3^2+23=2^5 \rightarrow 9+23=32$$n=29 = 5+24$:
$3^1+29=2^5 \rightarrow 3+29=32$$n=31 = 7+24$:
no se encontró ninguna solución$n=37 = 13+24$:
$3^3+37=2^6 \rightarrow 27+37=64$$n=47 = 23+24$:
$3^4+47=2^7 \rightarrow 81+47=128$$n=53 = 5+2*24$:
no se encontró ninguna solución$n=55 = 7+2*24$:
$3^2+55=2^6 \rightarrow 9+55=64$$n=61 = 13+2*24$:
$3^1+61=2^6 \rightarrow 3+61=64$$n=71,77,79,85,95$:
no se encuentran soluciones
Mediante la comparación de cualquier potencia de 2 hasta un cierto límite (que se $b \le 2^{10}$) con el mayor de los poderes, de 3 de ser menor que la potencia de 2, me enteré, que todas las demás diferencias de potencias de 2 menos de los poderes de 3 son más grandes que 100 para todos los $b \le 2^{10}$, lo que significa $2^b \le 1.8 \times 10^{307}$.
Así las soluciones para $n<100$ mencionados anteriormente son sólo las soluciones existentes con $3^a$ $2^b$ tenía menos de 307 dígitos decimales. Y esto me hace creer, que allí también hay soluciones para $n=5,7,13,23,31,...,95$ al $3^a$ $2^b$ son más grandes que las $10^{307}$.
Y también creo, que no hay ninguna diferencia, que parece infinitamente a menudo. Incluso creo, que el número máximo que una diferencia que puede aparecer es 2.
Pero no tengo idea de cómo probar esto.
Puede usted ayudar?
- Hay otras soluciones para valores bajos de $n$? Si sí: ¿Cómo puede usted encontrar? Si no: ¿Cómo se puede demostrar que?
- Cómo muchos de los valores de $a$ (o $b$) pueden compartir la misma diferencia $n$?
