Prueba

Question

Prueba $n^{n+r}>(n+r)^n$ $n,r>2$, ambos números naturales

Sé que $n^{n+1}>(n+1)^n$, así que si sólo aumentar el porcentaje de $''n+1''$ $1$, la desigualdad es cierto, es decir $n^{n+2}>(n+2)^n$ porque la relación de la izquierda es $n$ y el lado derecho es $(1+\frac1{n+1})^n<e$, así iterando de este modo puedo llegar a $n+r$, ¿estás de acuerdo?

Answer 1

Yo haría algo similar.

Queremos mostrar $n^r< (1+\frac{r}{n})^n$.

Ahora Observe que $e^r=1+r+\frac{r^2}{2!}+\dots $

Usando la expansión binomial uno puede fácilmente concluir que $ (1+\frac{r}{n})^n< e^r< n^r$ (porque $\dfrac{\binom{n}{j}}{n^j}< \frac{1}{j!})$

Answer 2

Tomando logaritmos en ambos lados, la desigualdad es equivalente a $$\frac{\ln(n + r)}{n + r} < \frac{\ln(n)}{n}.$ $

Consideremos ahora la función $x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$. El derivado es $\frac{1 - \ln(x)}{x^2}$, que es negativo para $x > e$. Pero esto significa que la función es decreciente en este intervalo, lo que demuestra la desigualdad original.

Answer 3

$n^{n+r}\gt(n+r)^n$

$n^{n+r\over n }\gt(n+r)$

$n^{1\over n}\gt (n+r)^{1\over n+r}$

$^{n}\sqrt{n} \gt $ $^{n+r}\sqrt{n+r}$

Sabemos que $^{x}\sqrt{x}$ descendente después de $e$ así que si aumentamos x disminuye el valor de la función

y $f'(x)=x^{{1\over x}-2}(ln x -1)$ para x > 2 derivado es negativa y la función es descendente

Answer 4

Poner $n+r=m$ y demostrar que

$n^m>m^n$ if $m\geq n+3$.

o $\frac{\ln(n)}{n}-\frac{\ln(m)}{m}>0$.

la derivada de la función $f: x\mapsto \frac{\ln(x)}{x}$ tiene el signo de los % numerador $(1-\ln(x))$por lo tanto, es decreciente, $f$ $[3,+\infty)$ y $$\forall m>n>2 \;\;\frac{\ln(m)}{m}<\frac{\ln(n)}{n}$ $ qed.