Demostrar la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}\over(n-1)!}\cdot{e^{-xn}-1\over e^{xn}-1}=-e^{-x(1-e^{-x})}$

Question

Muestran que,

$$\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}\over(n-1)!}\cdot{e^{-xn}-1\over e^{xn}-1}=-e^{-x(1-e^{-x})}$$

Mi intento:

Sabemos que

$$\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}\over (n-1)!}=e^x$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-xn}-1\over e^{xn}-1}={1\over 1-e^{x}}$$

¿Cómo utilizo estas dos fórmulas para llegar a la fórmula superior?

Dejar y tratar de dejar $x=\ln{y}$ entonces tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\ln{y}^{n-1}\over (n-1)!}\cdot{y^{-n}-1\over y^n-1}=-y^{{1\over y}-1}$$

¿Todavía no puede ver nada obvio paso a hacer a continuación, cualquier sugerencias?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{e^{-xn}-1}{e^{xn}-1}=\frac{1}{e^{nx}}\frac{e^{-xn}-1}{1-e^{-nx}}=-e^{-nx} $$ hence $ $\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!} \frac{e^{-xn}-1}{e^{xn}-1}=-\sum_{n\geq1}\frac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!} e^{-xn} $$ $$=-e^{-x}\sum_{n\geq0}\frac{x^{n}}{n!}e^{-xn}=\color{red}{-\exp\left(-x+xe^{-x}\right)}.$$