un problema de conjuntos finitos

Question

Me dieron el siguiente acertijo en una de las conferencias: Un avión a reacción con m (un número natural) asientos que está lleno al máximo está a punto de despegar. Cada pasajero tiene en su mano una tarjeta con un número natural que no puede ver ni puede ver las tarjetas que tienen sus compañeros de viaje. El avión despegará sólo si cada uno de los pasajeros adivina qué número tiene. El capitán decide mostrar un único número (un número natural) que ayudará a los pasajeros a descifrar cada uno de sus propios números. La pregunta es, ¿cuál es ese número? P.D.: los asientos están numerados y cada pasajero sabe el número de su asiento. ¡Realmente me gustaría tener algunas pistas con este! ¡Muchas gracias! *El capitán puede ver todos y cada uno de los números

Answer 1

Supongamos que los números (enteros positivos) son $N_1,N_2,\dots,N_m.$ El piloto muestra el número $10^{N_1}+10^{N_1+N_2}+\cdots+10^{N_1+N_2+\cdots+N_m}.$

Answer 2

Supongamos que el pasajero $k$ tiene número $f(k)$ .

Entonces el piloto puede mostrar el número $\prod\limits_{n=1}^N p_n^{f(n)}$ . Donde $p_n$ es el $n$ 'th prime y $N$ es el número de pasajeros.

Por el teorema fundamental de la aritmética cada pasajero puede determinar el número de cada persona.

Answer 3

Edición: aquí hay una segunda respuesta, probablemente la más corta hasta ahora y la más fácil de descifrar.

Supongamos que el número más largo tiene $d$ dígitos. El capitán rellena cada número con ceros a la izquierda para que sea $d$ dígitos de longitud, y luego los concatena en orden de asiento. Como los pasajeros conocen el número de asientos, pueden calcular $d$ de la longitud del número que se les dice, y luego cuentan hasta su número de asiento. Si también se desconoce el número de asientos, la leyenda utiliza $d$ como prefijo, rellenado de la misma manera.

---

Primera solución:

Como el capitán conoce los números que corresponden a los asientos, puede decir a los pasajeros el producto de los números $(p_n)^{c}$ donde $p_n$ es el $n$ el primero y $c$ es el número que tiene el pasajero en el asiento $n$ .

Los pasajeros tendrán que ser muy buenos en aritmética. Tal vez sus teléfonos móviles puedan factorizar números grandes.

Answer 4

Otra idea es ordenar estos números según los asientos y describirlos, por ejemplo, en una representación binaria (utilizando $0$ s y $1$ s) mientras se separan los números individuales por un dígito que no está presente en esa representación (por ejemplo $2$ ). Así, por ejemplo, los números $1$ , $5$ y $7$ que tienen representaciones binarias $1$ , $101$ y $111$ podría codificarse en número $121012111$ .

Answer 5

Supongamos que el avión tiene sólo 4 asientos. El capitán podría mostrar el número $13243241$ para demostrar que al asiento 1 se le asignó el número 3, al asiento 2 el número 4, al asiento 3 el número 2 y al asiento 4 el número 1. Se pueden tratar más asientos de una manera análoga que no requiere cálculos.