Soy un novato en matemáticas, pero me tropecé con esto mientras trabajaba en un juego en pitón. Esta es la prueba que tengo, creo que muestra que el punto medio entre $0$ y el infinito es $1$ :
Si es verdad, probablemente no sea el primero en descubrirlo, pero aún así, sólo quiero algún tipo de confirmación. Esto es muy alucinante para mí ahora mismo.
Aunque personalmente no usaría la palabra "a medio camino", no encuentro totalmente irrazonable decir que 1 está en una especie de posición especial entre $0$ y $ \infty $ . El sentido en el que estoy pensando es que en la línea proyectiva ( Wikipedia ), sobre $ \mathbb {R}$ o $ \mathbb {C}$ el mapa $z \mapsto\frac {1}{z}$ voltea todos los números "abajo" $1$ a todos los números "arriba" $1$ y viceversa (en particular, el intercambio $0$ y $ \infty $ ), mientras se fija $1$ .
Añadido: Puedes pensar en la línea de proyección sobre $ \mathbb {R}$ como una forma de describir o capturar todas las posibles "pendientes de líneas" en el plano como un único objeto matemático, y este objeto tiene una "simetría" $z \mapsto \frac {1}{z}$ que hace que $1$ se destacan (aunque hay que tener en cuenta que $-1$ se destaca tanto como el resto). Esto se relaciona directamente con la idea detrás de su diagrama, ya que usted etiquetó su diagrama con las pendientes de las líneas (las ecuaciones que escribió son incorrectas, sin embargo, como otros ya han señalado).
Con respecto a la línea de proyección sobre $ \mathbb {C}$ alias la esfera de Riemann ( Wikipedia ), esto se manifiesta a menudo en las ilustraciones como la elección del círculo de la unidad para ser el "ecuador" entre el "polo norte" $ \infty $ y el "Polo Sur" $0$ . Aquí está la foto de Wikipedia:
(Por supuesto, uno puede preguntarse hasta qué punto el mapa $z \mapsto \frac {1}{z}$ es especial.)
Esto está implícito en las respuestas y comentarios existentes, pero no parece que se haya dicho directamente: Lo que has encontrado no es que $1$ está a medio camino entre $0$ y $ \infty $ pero eso $ \arctan (1) = \frac { \pi }{4}$ está a medio camino entre $ \arctan (0) = 0$ y $ \arctan ( \infty ) = \frac { \pi }{2}$ Este último es visto como el valor límite, o como proveniente de la única extensión continua de $ \arctan $ a los reales extendidos.
En otras palabras, $$ \int_ {0}^{ \infty } \frac {dx}{1 + x^{2}} = \int_ {0}^{1} \frac {dx}{1 + x^{2}} + \int_ {1}^{ \infty } \frac {dx}{1 + x^{2}}, $$ y las dos integrales de la derecha son iguales.
Creo que las respuestas existentes pierden un poco de matiz: ¿cómo se define la distancia .
Hay muchas "funciones de distancia" diferentes que se pueden definir en los números reales (extendidos). La más utilizada (que suele presumirse a menos que se especifique lo contrario) es $d(x,y)=|x-y|$ . Claramente bajo esa noción de distancia, $1$ es el punto medio entre $0$ y $2$ no $0$ y $ \infty $ .
Wikipedia da una buena información sobre las funciones de distancia (también conocidas como métricas) que se definen por tener las siguientes propiedades:
1) $d(x,y) \geq 0$
2) $d(x,y)=0 \iff x=y$
3) $d(x,y) = d(y,x)$
4) $d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$
Esta última propiedad se conoce como la Desigualdad de los Triángulos y es extremadamente importante para muchas aplicaciones de métricas y teoremas sobre los espacios métricos (que no son más que conjuntos en los que se puede definir una métrica). Algunos ejemplos de métricas sobre $ \mathbb {R}$ incluyen $d(x,y)= \max (1,|x-y|)$ , $d(x,y) = (x-y)^2$ y la función que es $1$ cuando $x \neq y$ y $0$ cuando $x=y$ .
Cuando se usan términos como "a medio camino" hay que especificar qué métrica se está usando. La métrica "habitual" en $ \mathbb {R}$ es $d(x,y)=|x-y|$ donde esta propiedad obviamente no se mantiene. Pero hay métricas en $ \mathbb {R} \cup\ { \infty\ }$ para el cual $1$ está a medio camino entre $0$ y $ \infty $ . ¡Intenta dar un ejemplo basado en tu foto! A continuación, tratar de llegar a un ejemplo diferente basado en la imagen en la respuesta de Zev
Estos Las notas de las conferencias hablan de los espacios métricos en general y demuestran algunos teoremas interesantes sobre ellos.
Por tu foto, podrías decir que el punto medio entre $0$ y el infinito es $-1$ ... En la geometría proyectiva tu idea puede ser precisa, pero esto requiere de cierta experiencia técnica. No me explayaré sobre eso aquí, pero aquí hay un bonito (corolario de) un resultado de la geometría proyectiva:
Para el par de líneas en el plano con pendientes $0$ y $ \infty $ el par de líneas con pendientes $1$ y $-1$ es el único otro par con la siguiente propiedad: Cada línea paralela a una de estas cuatro líneas intersecta las líneas en tres puntos, y uno de ellos está a mitad de camino entre los otros dos.
En este sentido, ambos $1$ y $-1$ están "a mitad de camino $0$ y el infinito; hay infinito en ambas direcciones ;) Los resultados son mucho más fuertes y bonitos que los anteriores, pero requieren más teoría. Si estás interesado, busca algo de geometría proyectiva, en particular:
También puedo recomendar el libro Geometría Clásica - Euclidiana, Transformacional, Inversa y Proyectiva por I.E. Leonard, J.E. Lewis, A.C.F. Liu y G.W. Tokarsky. El capítulo 13 y especialmente el 14 hacen que su intuición sea precisa.
Por el mismo razonamiento, la tangente de $22.5^ \circ $ estaría "a mitad de camino" entre el cero y $1$ . Eso es $ \tan 22.5^ \circ = \sqrt {2}-1$ .
Podría ser más exacto decir que "la pendiente $1$ está a mitad de camino entre la pendiente $ \infty $ y la pendiente $0$ ." Por supuesto, la pendiente $-1$ está a medio camino entre estos dos, también, así que al final, es probablemente un poco inútil.
Por ejemplo, ¿qué es "a medio camino entre $0$ y $4$ ? ¿Por qué es más grande que la mitad de la distancia entre $0$ y $ \infty $ ?
Podemos digamos muchas cosas, siempre y cuando definamos lo que queremos decir de forma no contradictoria. La pregunta siempre es "¿tiene esta definición alguna utilidad para nosotros?" Probablemente no en la medida en que la necesitamos, está realmente "a medio camino entre" dos ángulos, no $0$ y $ \infty $ .
Esta definición particular de "a medio camino" evitaría que "entre" siguiera una de estas reglas:
Así que ahora, cuando hablas de "el número(s) a mitad de camino entre $a$ y $b$ " tienes que tener cuidado de excluir $ \infty $ o tendrías que evitar usar una o más de las propiedades anteriores.
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