Representando el área de un círculo como la suma de circunferencias

Question

Tuve esta idea de calcular el área de un círculo como la suma de circunferencias donde el radio se va acortando por una cantidad infinitesimal hasta que llega a 0. Me dijeron que esto era imposible, porque un área solo puede ser representada como la suma de áreas más pequeñas, pero no de líneas. Intenté hacer un programa que calcula el área de un círculo usando este método, aquí está el algoritmo:

Esto funciona, lo he probado con numerosos ejemplos. Cuanto mayor sea n, mayor será la precisión.

Mis 2 preguntas son:

1. ¿Por qué funciona esto si un área no puede ser representada como la suma de líneas?
2. ¿Por qué debo dividir el resultado dado por este método por el valor recíproco del valor con el que acorto el radio? Como dije, cuanto mayor sea n, mayor será la precisión. Por lo tanto, esta será el área exacta cuando n tienda a infinito, ¿pero no estaría dividiendo por infinito más tarde? ¿Cómo me da esto un resultado exacto?

Answer 1

Su algoritmo calcula lo siguiente: $$P = \frac{1}{10^n} \sum_{\substack{i \ge 0 \\ r - 10^{-n} i > 0 }} 2 \pi (r - 10^{-n} i)$$ Para simplificar, supongamos que $r$ es un múltiplo entero de $10^{-n}$; por ejemplo, $r$ es un entero. Entonces podemos escribir esto como $$P = \frac{1}{10^n} \sum_{j = 1}^{10^n r}2 \pi j$$ Esta es una suma de Riemann (y por lo tanto una buena aproximación para) para la integral $$\int_{0}^r 2 \pi r' \; dr' = \pi r^2,$$ y la aproximación mejora cuanto más subintervalos tengas, es decir, cuanto mayor sea $n$.

Tienes buena intuición -- el área del círculo puede pensarse como la suma de las (infinitas) longitudes de todas las circunferencias que se pueden dibujar dentro de él con radio más pequeño. Esto es lo que se ha descrito anteriormente. En términos de cálculo, la integral de la circunferencia es el área. Por eso funciona tu algoritmo.

Answer 2

Su algoritmo inteligente aproxima el círculo mediante una unión de anillos de radio $r/10^n$. El área de cada anillo es su circunferencia multiplicada por su ancho.

Este es un argumento estándar en cálculo. Arquímedes lo habría apreciado.

Answer 3

Últimamente he estado pensando en lo mismo. Aún no he tomado cálculo, pero tengo una forma alternativa de verlo como multiplicar longitud por ancho. Tienes una serie aritmética que representa las longitudes variables de las circunferencias dentro del círculo. La suma de una serie aritmética es igual a su promedio multiplicado por el número de términos. De esta manera, puedes multiplicar la circunferencia promedio (longitud) por el ancho a lo largo del cual ocurre la longitud (el radio). De esta manera, se multiplica la longitud por el ancho para encontrar el área.