Cómo probar esta $f(n)\le f(n+1)$, donde $f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$

Question

deje que $$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k^2}$$

demostrar o refutar $$f(n)\le f(n+1)$$

esta desigualdad se encuentra cuando me ocupo de este límite: $$\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+(k/n)^2}=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$ Pero no puedo probar $$f(n)\le f(n+1)$$

desde $$f(n+1)=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1}+\dfrac{n+1}{(n+1)^2+2^2}+\cdots+\dfrac{n+1}{(n+1)^2+n^2}+\dfrac{n+1}{(n+1)^2+(n+1)^2}$$ $$f(n)=\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}$$ así $$f(n+1)-f(n)=\left(\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1}-\dfrac{n}{n^2+1}\right)+\left(\dfrac{n+1}{(n+1)^2+2^2}-\dfrac{n}{n^2+2^2}\right)+\cdots+\left(\dfrac{n+1}{(n+1)^2+n^2}-\dfrac{n}{n^2+n^2}\right)+\dfrac{1}{2(n+1)}$$ así $$f(n+1)-f(n)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^2-n^2-n} {k^2+n^2)((n+1)^2+k^2)}+\dfrac{1}{2(n+1)}$$

Este problema es de mi lo encontró,le puede ayudar a resolver este problema?

Answer 1

Tomar $g(x):=\frac{1}{n^2+x^2}$ y aplicar el de Euler-MacLaurin de la suma de la fórmula. , A continuación, obtenemos $$ f(n)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4n}+h(n),\qquad |h(n)|\leq\frac{3^{3/2}-2}{32n^2}. $$ A partir de este $$ f(n+1)-f(n)=\frac{1}{4n(n+1)}+H(n),\qquad |H(n)|\leq\frac{3^{3/2}-2}{16n^2}. $$ Que los rendimientos de $$ f(n+1)-f(n)\geq\frac{(6-3^{3/2})n-3^{3/2}+2}{16n^2(n+1)}, $$ cual es positivo si $n\geq4$. Para $n=1,2,3$ se puede comprobar por la mano.

Answer 2

Esta respuesta es esencialmente el mismo enfoque como vesszabo; yo incluyen sólo para dar otra perspectiva. $G(x)=1/(1+x^2)$. Considerar la aproximación trapezoidal $$\int_0^1 g(x) dx \approx \frac{1}{n} \left( \frac{g(0)+g(1/n)}{2} + \frac{g(1/n)+g(2/n)}{n} + \cdots + \frac{g((n-1)/n)+ g(1)}{2} \right)$$ $$a=\frac{1}{2n} + f(n) - \frac{1}{4n}.$$ Es bien conocido que el error en la aproximación trapezoidal es de $-(1-0)^3 M/(12 n^2)$ donde $M = g"(x)$ $x \in [0,1]$. La PARTE SIGUIENTE ES ACTUALIZADO, gracias a zyx por señalar el error. El mayor valor positivo de $g"$ es de $1/2$, $x=1$, y el más negativo es de $-2$ $x=0$.

Así $$ \int_0^1 g(x) dx - \left( \frac{1}{2n} + f(n) - \frac{1}{4n} \right) \geq - \frac{1}{24 n^2}$$ o, después de un poco de álgebra, $$f(n) \leq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4n} + \frac{1}{24 n^2}.$$

Del mismo modo, $$f(n+1) \geq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4(n+1)} - \frac{1}{6(n+1)^2}$$

Así $$f(n+1) - f(n) \geq \frac{n^2 + 4n -1}{24 n^2 (n+1)^2}$$ cual es $a>0$ para $n \geq 1$.

El punto fundamental aquí es que, cuando se compara una suma integral, su primer acercamiento debe ser sumas de Riemann (tratado de por sí, pero no lo suficientemente bueno), su segundo debe ser la regla trapezoidal (utilizado aquí), y la tercera debe ser la plena potencia de Euler-Maclaurin suma (vesszabo la respuesta).

Answer 3

(Respuesta parcial, más algunas observaciones en realidad.)

Estas son las sumas de Riemann $f(n)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^ng\left(\frac{k}n\right)$ donde $g:x\mapsto\frac1{1+x^2}$ en $[0,1]$.

• Desde $g$ es decreciente y las sumas de Riemann se basan en el derecho de los extremos de los intervalos de $\left[\frac{k-1}n,\frac{k}n\right]$, uno sabe que $f(n)\lt\ell$ para todo $n$, donde $\ell=\lim\limits_{n\to\infty}f(n)=\int\limits_0^1g=\frac\pi4$.
• Los intervalos de la partición en $nk$ intervalos de subintervalos de la partición en $n$ intervalos de ahí que el mismo argumento muestra que $f(n)\lt f(nk)$ para todo $n\geqslant1$ y $k\geqslant2$, por ejemplo, $f(2^n)\lt f(2^{n+1})$ para todo $n\geqslant0$.

Una prueba completa de la monotonía de $(f(n))$, si esta propiedad se mantiene, podría usar más refinado propiedades de $g$ de su monotonía, tal vez, su convexidad/concavidad propiedades en $[0,1]$.

Answer 4

Esto podría conducir a una solución, pero al menos, demuestra cuán delicado de la estimación.

Queremos obtener un control sobre $$ S_n = \sum_{k = 1}^n \frac{n^2 + n - k^2}{(n^2 + k^2) ((n+1)^2 + k^2)} $$ y demostrar que se muere más rápido que $\frac{1}{2n}$. Vamos a ser arrogante y soltar '$n+1$' negocios en el denominador, para hacer nuestra vida más sencilla. Entonces, estamos de delimitación $$ S_n' = \sum_{k = 1}^n \frac{n^2 + n - k^2}{(n^2 + k^2)^2} = \frac{1}{n^2} \left(\sum_{k = 1}^n \frac{1-(k/n)^2}{(1 + (k/n)^2)^2} + \frac{1}{n} \frac{1}{(1 + (k/n)^2)^2} \right) $$ Podemos darnos cuenta de esto como un par de sumas de Riemann: la primera (dominante) plazo es el derecho-extremo de suma de Riemann de la función decreciente $g_1(x) = \frac{1-x^2}{(1 + x^2)^2}$, y el segundo término es el derecho-extremo de Riemann suma de $g_2(x) = \frac{1}{(1+x^2)^2}$. Ambos de estas sumas de Riemann será estrictamente menores que los destinados integrales. Ahora la parte divertida: $$ \int_0^1 g_1(x) dx = \frac{1}{2} $$ y así de grande $n$, el dominante término es sólo apenas lo suficientemente pequeño como para concluir. Para hacer esta prueba, uno tendría que encontrar un límite inferior para el error en la definición de la integral de la suma de $g_1$ junto $[0,1]$, y comparar esto con la $g_2$ plazo. Afortunadamente, $g_1$ en realidad es cóncava en $[0,\sqrt{2}-1]$, y lo que hay cierta esperanza de tomar un pequeño subinterval y cocinar hasta un límite inferior de este error que vence a los $g_2$ plazo.

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Yo lo hice de la siguiente. No funcionó de la manera que yo esperaba, pero pensé que me gustaría grabar el método aquí, si alguien los puede mejorar.

WolframAlpha calcula la integral $\int_0^1 g_2(x) dx = \frac{2 + \pi}{8} \leq \frac{7}{10}$ y $\int_{2/5}^1 g_1(x) dx = 9/58, \int_{0}^{1/5} g_1(x) dx = \frac{5}{26}$. Así, $$ S_n \leq S_n' \leq \frac{1}{n^2} \sum_{k = \lfloor \frac{n}{10} \rfloor }^{ \lceil \frac{2 n}{5}\rceil } g_1(\frac{k}{n}) + \frac{C}{n} + \frac{7}{10 n^2} $$ con $C = \frac{9}{58} + \frac{5}{26}$. (la anterior podría ser por una o dos términos en la suma restante) Nos truncar la definición de la integral de la suma de $g_1$ de $2/5$ a $1$ porque $g_1$ no es cóncava con nosotros, y truncar desde $0$ a $1/5$, así que tenemos un positivo límite inferior en $g_1'$ en $[1/5, 2/5]$.

Ahora, $g_1'(x) \leq - 1$ para $x \in [1/5,2/5]$; cada uno de la franja vertical de los segmentos en la parte restante de la suma de Riemann se subestiman la verdadera integral de $g_1$ allí por al menos $\frac{1}{n^2}$. En total, la subestimación de la contribución al total de la suma de Riemann de tales términos es al menos $\frac{n }{5} \cdot \frac{1}{ n^2} = \frac{1}{5}$, y por lo tanto hemos demostrado que $$ S_n' \leq \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{7}{10 n}\right) $$

Por desgracia, esto no es lo suficientemente fuerte. No creo que el ajuste de las estaciones de trabajo: uno, probablemente, tiene que tener más cuidado a la estimación utilizando además el (nonconcave) segmento $[2/5,1]$.

Answer 5

De hecho, esto es una extensión de la pregunta inicialmente planteada.

La serie finita puede ser expresada en términos de la función digamma :

El uso de la integral de la definición de la digamma :

La serie finita puede ser expresada como una función definida por una integral:

A continuación, la función con el entero n se extiende a los reales positivos x :

La función $f(x)$ es continua y puede ser representado gráficamente :

Esto muestra que $f(x)$ es continua disminuyendo. Como consecuencia, podemos extender la pregunta inicial de $f(n+1)>f(n)$ a una $f(x+r)>f(x)$, donde $x$ y $r$ son positivos reales.

Por supuesto, la presentación gráfica no es una prueba analítica.