Al final de La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo Paul Cohen escribió:
Un punto de vista que el autor cree que puede llegar a aceptarse es que la CH es obviamente falso. La razón principal por la que se acepta el axioma del infinito es probablemente que nos parece absurdo pensar que el proceso de añadir un solo conjunto a la vez pueda agotar todo el universo. Lo mismo ocurre con los axiomas superiores del infinito. Ahora $\aleph_1$ es el conjunto de los ordinales contables y ésta no es más que una forma especial y la más sencilla de generar un cardinal superior. El conjunto $\mathfrak c$ es, en cambio, generado por un principio totalmente nuevo y más poderoso, a saber, el axioma del conjunto de potencias. No es razonable esperar que cualquier descripción de un cardinal mayor que intente llegar a ese cardinal a partir de ideas derivadas del Axioma de Sustitución pueda llegar nunca a $\mathfrak c$ . [...]
Esto parece implicar que Cohen pensaba que construir hasta $\aleph_1$ "de las ideas derivadas del Axioma de Sustitución" puede razonablemente se espera que tenga éxito. ¿Pero cómo?
Definitivamente, no se puede pruebe que $\omega_1$ existe en la teoría que obtenemos de omitir ingenuamente el axioma del conjunto de potencias de una presentación estándar de ZFC -- porque el conjunto de conjuntos hereditariamente contables es un modelo de esa teoría y no contiene ningún conjunto de todos los ordinales contables.
Cohen era sin duda muy consciente de ello, por lo que debía de tener en mente algo distinto. A falta de resucitarlo para que podamos preguntarle, ¿hay alguna prueba que demuestre en qué tipo de "acumulación" estaba pensando aquí? ¿El argumento es simplemente que si no se hubiera inventado el Power Set, nosotros todavía debe tener aceptado " $\omega_1$ existe" como nuevo axioma por una razón similar a la que él propone para aceptar el Infinito?
0 votos
Interesante... Dado un modelo transitivo $\mathcal{M}$ de $\operatorname{ZFC}^-$ la existencia de $\mathbb{R}^{\mathcal{M}}$ implica la existencia de $\omega_1^{\mathcal{M}}$ - simplemente porque el ordinal que atestigua el bien-orden en $\mathbb{R}^{\mathcal{M}}$ existe. ¿Es cierto lo contrario?
0 votos
Pues lo contrario es falso. Codifique $\omega_2^L$ Reales de Cohen en $C \subseteq \omega_2^L$ y considerar $L_{\omega_2^{L}}[C]$ . Tenemos que $L_{\omega_2^L}[C] \models \operatorname{ZFC}^-$ (porque $L_{\omega_2^{L}}[C] = ( H_{\omega_2})^{L[C]}$ pero este modelo reconoce una clase propia de reales.
1 votos
@Stefan: Más elementalmente, si CH falla en el metalevel, podríamos tomar $\mathcal M$ el conjunto de todos los conjuntos hereditarios de cardinalidad $\le\aleph_1$ . (Por supuesto, esto sólo mostraría "no necesariamente" en lugar de "no").
4 votos
Echando un vistazo a "Elogio de la sustitución" de Kanamori, no estoy del todo seguro de que Cohen supiera que Power Set es necesario para demostrar la existencia de $\omega_1$ cuando escribió ese párrafo.
0 votos
@Stefan creo que en tu primer comentario solo necesitas $\mathrm{ZF}^-$ por Hartogs.
0 votos
@PedroSánchezTerraf Sin embargo, el lema de Hartogs se basa en el axioma del conjunto de potencias. No estoy seguro de si la existencia de $\mathbb R^{\mathcal{M}}$ es suficiente. Lo que quieres decir es que $\{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f \colon \alpha \to \omega \text{ injective} \}$ es un conjunto y no veo -de entrada- cómo obtener este conjunto a partir de $\mathbb R^{\mathcal {M}}$ .
2 votos
@Stefan En realidad, estoy considerando $\mathbb{R}=\mathcal{P}(\omega)$ . De aquí se obtiene $\mathcal{P}(\omega\times\omega)$ y eso es todo lo que necesitas, ya que puedes separar las ordenaciones de subconjuntos de $\omega$ . El mapa que envía una ordenación a su tipo de orden es definible en $ZF^-$ y usando Reemplazo una vez más tienes tu ordinal incontable.
1 votos
@Pedro Sí, eso funciona.
0 votos
Creo que Cohen opinaba que la CH restringe demasiado nuestro universo de conjuntos, haciéndolo "demasiado pequeño", al igual que V=L puede opinarse de ..... Desde su propio avance (Forzamiento), V=L no es popular como axioma básico..... Me pregunto si algún día podría haber una Q de la física que dependa de una Q matemática que sea indecidible en ZFC.