¿Es posible saber si cualquier y todas las declaraciones son verdaderas, falsas o indecidibles bajo axiomas matemáticos estándar, por ejemplo, ZF?
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Voy a demostrar:
No existe un algoritmo que, por cualquier declaración de P en el lenguaje de la teoría de conjuntos, clasifica P como ser comprobable, disprovable, o independiente de los axiomas de ZF
Supongamos que usted tenía un oráculo $M$ que resuelve este problema. Usted puede usar esto para crear un algoritmo que enumera los teoremas de una completa extensión de ZF:
- Deje $A$ ser una tautología
- Para cada declaración de $P$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos:
- El uso de $M$ a clasificar el estado de $A \Rightarrow P$
- Si $A \Rightarrow P$ es comprobable en ZF, salida $P$
- Si $A \Rightarrow P$ es independiente de ZF, a continuación, establezca $A = A \wedge \neg P$
La idea es que el algoritmo de forma iterativa, se construye una lista de $A$ de los nuevos axiomas para agregar a ZF para hacerla completa; el oráculo $M$ es utilizado para asegurar que nunca seleccione un incoherente conjunto de axiomas.
Gödel del teorema de la incompletitud dice que no existe un algoritmo que puede hacer esto; en consecuencia, no hay algoritmo para determinar la salida de $M$.
Prit
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No, porque cada sistema axiomático tiene sus propios límites (después de que el límite para postular algo para continuar con el desarrollo de las capas de complejidad), porque, en efecto, para la construcción de un completo sistema axiomático tiene que postular un infinito del infinito de axiomas, porque se puede construir una infinidad de infinitos de declaraciones y theroms .... y la noción de infinito es trascendental (contables, infinidad de..... y más grande cardenal conjuntos), por lo que es tan lejos para llegar a cualquier declaración, porque se puede construir más y más grande de juegos, que tiene mayor cardinalidad, por ejemplo, usted tiene naturals contables, un número real no contables, super número real que es el poder conjunto de los números reales y que usted puede seguir para siempre, así que usted puede indexar por este poder conjuntos de número mucho mayor de la declaración de que usted no puede alcanzar por cualquier medio, así que usted no puede probar ellos de modo que usted no puede decidir si es verdadera o falsa o indeterminada. Los axiomas no son todo lo que necesitamos para construir una teoría, porque no hay un infinito de axiomas dentro de nosotros, incluyendo el cerebro de los mecanismos de ejemplos, o las leyes que rigen la materia que usted está constituido de, todo lo que es una característica intrínseca de los axiomas, porque simplemente construir algo por el puro vacío, usted tiene que postulan en el infinito de axiomas, porque usted tiene que construir todo desde cero, y la existencia en sí es infinito en comparación con la existencia es la razón por la $\infty\times 0 $ tal vez igual a algo como $1$ o $2$ ... pero $0\times$ cualquier número $=0$, no se puede postular un número finito de axiomas y construir realmente algo, cada finito axiomática del sistema será incompleta en cierto rango de su desarrollo mucho más capas de complejidad.
gsoundsgood
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No, en general esto no es posible saber de todas las declaraciones. Por ejemplo, es concebible que la hipótesis de Riemann para siempre podría permanecer "falsas o indecidible o verdadero". (También, en el ejemplo particular de la hipótesis de Riemann, los Estados "indecidibles" / "verdaderos" no son mutuamente excluyentes.)
