¿Tener un número finito de generadores, cada uno con un orden finito, implica que el grupo es finito?

Question

Supongamos que tengo un grupo $G$ con un número finito de generadores $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ y las órdenes $|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_n|$ son todos finitos. ¿Se deduce que el orden del grupo $|G|$ ¿es necesariamente finito?

No estoy seguro de cómo abordar la demostración/desaprobación de este problema. Para intentar refutarlo, intenté encontrar un grupo infinito que tuviera un número finito de generadores cada uno con orden finito, pero todo lo que intenté no pareció funcionar:

• $\mathbb{Z}$ tiene generadores de orden infinito
• $GL_n(\mathbb{R})$ el conjunto de los invertibles $n\times n$ matrices, también tiene generadores de orden infinito
• El grupo cíclico infinito tiene un número finito de generadores, pero de orden infinito

La verdad es que no conozco muchos ejemplos de grupos (infinitos o finitos), así que aquí me he liado.

Answer 1

Considere el grupo libre $G$ en $a$ y $b$ mod la relación que $a^2 = b^2 = e$ . Entonces $G$ admite secuencias de longitud arbitraria, a saber $a$ , $ab$ , $aba$ , $abab$ , $ababa$ , $\ldots$ .

Answer 2

Definir $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ por $$f(n)=\begin{cases} n+1&\text{ if $n$ is even} \\ n-1&\text{ if $n$ is odd}\end{cases}$$ y $g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ por $$g(n)=\begin{cases} n-1&\text{ if $n$ is even} \\ n+1&\text{ if $n$ is odd.}\end{cases}$$

Entonces $f$ y $g$ son ambas permutaciones de $\mathbb{Z}$ y tener orden $2$ como elementos del grupo de todas las permutaciones de $\mathbb{Z}$ . Pero fíjese que $$(g\circ f)(n)=\begin{cases} n+2&\text{ if $n$ is even} \\ n-2&\text{ if $n$ is odd}\end{cases}$$ así que $g\circ f$ es una permutación de orden infinito (al iterar sobre enteros pares e impares, sólo hay que seguir sumando o restando $2$ respectivamente). Se deduce que el grupo de permutaciones generado por $f$ y $g$ es infinito, aunque $f$ y $g$ ambos tienen un orden finito.

(De hecho, resulta que esto es lo mismo que el ejemplo de silvascientist. La representación explícita como permutaciones deja claro que todas las palabras que se pueden formar alternando $g$ y $f$ realmente son elementos distintos, ya que se puede calcular lo que son como funciones).

Answer 3

En la geometría euclidiana plana, el grupo que genera dos reflexiones en dos líneas paralelas proporciona un ejemplo fácil. El producto de las dos reflexiones es una traslación no nula, que tiene orden infinito.

Answer 4

I. El grupo diedro $D_n$ es un grupo de orden $2n$ generado por dos elementos $a_n,b_n$ de orden $2.$ Entonces $a=(a_1,a_2,a_3,\dots)$ y $b=(b_1,b_2,b_3,\dots)$ son elementos de orden $2$ en el producto directo $\prod_{n=1}^\infty D_n,$ y generan un subgrupo $D=\langle a,b\rangle$ que es infinito porque cada $D_n$ es una imagen homomórfica de $D$ a través del mapa de proyección.

II. Cualquier permutación puede expresarse como un producto de dos involuciones [W. R. Scott, Teoría de grupos Prentice-Hall, 1964, Ejercicio 10.1.17]. En particular, dada una permutación $\pi$ de orden infinito, podemos escribir $\pi=\alpha\beta$ para algunas involuciones $\alpha$ y $\beta,$ y luego $G=\langle\alpha,\beta\rangle$ es un grupo infinito generado por dos elementos de orden $2.$ Para un ejemplo concreto en el que $\pi$ es un ciclo infinito en $\operatorname{Sym}(\mathbb N),$ toma $$\alpha=(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)(7\ 8)\cdots,$$ $$\beta=(1)(2\ 3)(4\ 5)(6\ 7)\cdots,$$ $$\pi=\alpha\beta=(\cdot\ \cdot\ \cdot\ 7\ 5\ 3\ 1\ 2\ 4\ 6\ 8\ \cdot\ \cdot\ \cdot).$$

III. Cualquier grupo contable puede ser incrustado en un $2$ -grupo de generadores con generadores de órdenes prescritos $p\ge3$ y $q\ge2$ [F. Levin, Factor groups of the modular group, J. London Math. Soc. 43 (1968), 195-203]. Por lo tanto, cualquier grupo contable puede ser incrustado en un grupo generado por tres elementos de orden $2.$

IV. Ver El problema de Burnside para ejemplos de grupos infinitos finitamente generados en los que cada elemento tiene orden finito.