Es posible generar una solución para esto? $p^2 + q^2 + r^2 = pqr $

Question

He visto este problema en una revista local.

Quiero Generar una fórmula para las soluciones de este problema Ah, y que dado que

$$p,q,r \in\mathbb{N} $$ y que puede ser igual.

Answer 1

Vamos a tratar de trabajar hacia atrás. Asumir los valores de p y q se dan a continuación:

$$p^2+q^2+r^2=pqr$$

que es una ecuación cuadrática en r con soluciones:

$$r=\frac{pq\pm\sqrt{p^2q^2-4\left(p^2+q^2\right)}}{2}$$

Observe que el numerador siempre va a ser incluso positivo y, si es un entero. Por lo tanto, existen dos enteros soluciones para $r$ fib $p^2q^2-4(p^2+q^2)$ es un cuadrado perfecto. La reescritura de la da:

$$p^2q^2-4\left(p^2+q^2\right)=\frac{\left(p^2+q^2\right)^2}{2}-\frac{9}{2}\left(p^2+q^2\right) = k^2$$

Aplicando la fórmula cuadrática da otra vez:

$$p^2+q^2=\frac{9\pm\sqrt{81+8k^2}}{2}$$

Así que tenemos que encontrar otro cuadrado perfecto:

$$81+8k^2=m^2$$

Este es el punto en el que me engañó y se utiliza Dario Alpern del solver para encontrar la solución a esto es $k=0,m=9$, y para cualquier k y m que resuelve la ecuación, por lo que no $k:=3k+m,\ m:=8k+3m$.

Sería fácil escribir un programa de ordenador, que genera tal ks y produce soluciones para $(p, q, r)$ cuando se aplica (al $\frac{9\pm\sqrt{81+8k^2}}{2}$ puede ser expresado como la suma de dos cuadrados).

Answer 2

No hay una fórmula. Todas las soluciones consecuencia de un triple que resuelve la ecuación de Markov $$ x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz $$ y la sustitución de la triple $(x,y,z)$$(3x,3y,3z),$, por lo que $p=3x,$ $q=3y,$ $r=3z.$ Existe un método simple para trasladarse de un triple en el árbol de Markov y llegar a una vecina de la solución. Ver diagrama de árbol en http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number

Hmmm. No veo la descripción de los viajes a la vecina triples.

Comienzo con $$ (x,y,z) $ $ (generalmente tres) los vecinos $$ (3yz-x,y,z), $$ $$ (x,3xz-y,z) $$ $$ (x,y,3xy-z). $$ En los tres casos, las tres entradas son tradicionalmente poner en orden creciente.

Tenga en cuenta que la gente en este sitio generalmente llamamos el movimiento de paso como un ejemplo de Vieta Saltar, http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping En particular, repitiendo exactamente el mismo salto (antes de poner las entradas en orden!) te lleva de vuelta a donde estaban.

Esto fue todo lo que trabajó para un número arbitrario de valores, A. Huwitz (1907) resolución de $$ x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2 = a x_1 x_2 \cdots x_n $$ with all positive integers. For $n=3$ the possible values of my letter $$ are $a=3,$ the Markov triples, and $un=1,$ answers are $3$ los tiempos de la Markov triples.

Answer 3

Resultados parciales:

1) Suponga que dos de ellos son iguales, wlog $q=r$, luego tenemos a $p^2=(p-2)q^2$. En particular, $p-2$ divide $p^2$ pero $$ \text{mcd}(p^2,p-2) \le \text{mcd}(p,p-2)^2 \le 2^2 $$ por lo tanto,$p-2\le 4$. Por otra parte $p^2>0 \implies p-2>0$, por lo que el $p \in \{3,4,5,6\}$. Si $p=3$ obtenemos $q=r=3$. Si $p=4$ o $5$ no tenemos soluciones. Si $p=6$$q=r=3$.

2) Supongamos $r=kq$ para algunos entero $k \ge 2$. A continuación, $p^2+q^2+k^2q^2=kpq^2$ puede escribirse como $$ (2p-kq)^2+q^2=0, $$ lo cual es imposible.

3) a partir De ahora podemos asumir wlog $p>q>r>0$, e $r\nmid q \nmid p$. Por otra parte, escribir la ecuación como $$ (2p-qr)^2=p^2r^2-4t^2-4r^2. $$ de modo que $(qr)^2-4(q^2+r^2)$ y los otros dos cíclico de las relaciones tienen que ser cuadrados perfectos.