La evaluación de $\int\limits_0^\infty \frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx$, métodos alternativos

Question

Problema:

Evaluar $$\displaystyle\int\limits_0^\infty \frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx$$

Mi progreso:

Me han resuelto el problema, pero me temo que no han utilizado la "deseada" métodos.

Por medio de la sustitución $u = e^x$, podemos reescribir la integral y consigue $$ \arctan(e^x)\bigg|_0^\infty $$

A continuación, necesitamos evaluar el límite de $$\displaystyle\left(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(e^x)\right) - \arctan(e^0)$$

Ahora, aquí es donde creo que mi solución difiere de la intención de método (que no sé lo que es).

Cuando evalúe el límite anterior, me doy cuenta de que $\tan(x)$ tiene una asíntota vertical para $x = \frac\pi2$, lo que significa que $\arctan(x)$ tiene una horizontal asíntota para $y = \frac\pi2$, y está aumentando continuamente.

Entonces, desde el $x\to\infty \Rightarrow e^x\to\infty$, podemos concluir que $$\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(e^x) = \frac\pi2$$ which gives the final answer $$\displaystyle\int\limits_0^\infty \frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx = \left(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(e^x)\right) - \arctan(e^0) = \frac\pi2 - \frac\pi4 = \underline{\underline{\frac\pi4}}$$

Mi pregunta:

Hay más de "cálculo" forma de evaluar el límite mencionado? I. e. el uso de algunas reglas generales de límites en lugar de la intuición? Tener en mente, me gusta mi propia solución. Fue satisfactorio. Me siento como que hay algo más que debería saber, que me estoy perdiendo.

Answer 1

Si usted quiere evitar el límite al infinito, puede utilizar el cambio de variable $e^x=1/u$, y obtener$$\int_0^\infty\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\int_1^0\frac{-\frac{du}{u^2}}{1+\frac1{u^2}}=-\int_1^0\frac{du}{1+u^2}=-\arctan(u)\Big|_1^0=\frac\pi4.$$

Answer 2

Si usted sabe de análisis complejo, puede utilizar el teorema de los residuos. Considere la posibilidad de

$$ \oint_C \frac{dz}{\cos{z}} $$

donde $C$ es un rectángulo con vértices en el plano complejo $-i R$, $\pi-i R$, $\pi+i R$,$i R$. El contorno de la integral es entonces

$$\int_0^{\pi} \frac{dx}{\cos{(x-i R)}} + i \int_{-R}^R \frac{dy}{\cos{(\pi+i y)}} + \int_{\pi}^0 \frac{dx}{\cos{(x+i R)}}+ i \int_{R}^{-R} \frac{dy}{\cos{(i y)}}$$

Ahora, las integrales sobre $x$ desaparecen porque combinan para formar

$$- i 2 \int_0^{\pi} dx \frac{\sinh{R} \sin{x}}{\sinh^2{R}+\cos^2{x}} = - i 2 \arctan{\left ( \frac1{\sinh{R}}\right )} $$

en el que claramente se desvanece como $R \to \infty$. Por lo tanto, en este límite, el contorno de la integral es igual a

$$i \int_{-\infty}^{\infty} dy \left ( \frac1{\cos{(\pi+i y)}} - \frac1{\cos{(i y)}} \right ) = -i 2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{\cosh{y}}$$

Por el teorema de los residuos, el contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces el residuo de $1/\cos{z}$ en el poste $z=\pi/2$ (el único polo dentro de $C$), que es $1/(-\sin{(\pi/2)}) = -1$. Por lo tanto,

$$ -i 2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{\cosh{y}} = i 2 \pi (-1) $$

y el uso de la exponencial definición del garrote, obtenemos que

$$\int_0^{\infty} dy \frac{e^y}{1+e^{2 y}} = \frac{\pi}{4} $$

Answer 3

De otra manera: tenga en cuenta que en $(0,\infty)$, $e^{-2x}<1$, por lo que podemos utilizar el teorema del binomio, el intercambio y el orden de la suma y la integración, para obtener $$ \int_0^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} \, dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-2}} \, dx = \int_0^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}e^{(2k+1)x} \, dx \\ = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \int_0^{\infty}e^{(2k+1)x} \, dx = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} = \frac{\pi}{4}. $$

Justificando el intercambio es una cuestión de la delimitación de la "resto" integral, $$ \int_0^{\infty} \frac{e^{-2(n+1)x}}{1+e^{-2x}} \, dx, $$ que es fácil de hacer notar que el denominador es mayor que $1$, por lo que el resto es menor que $1/(2n+2)$.

Answer 4

Otra forma de no utilizar el arctg se da por darse cuenta de que $$ \mathrm e^x\left(\frac{1}{1+\mathrm e^{2x}}\right) = \mathrm e^x\left(\frac{1}{2(1+\mathrm{ie}^x)}+\frac{1}{2(1-\mathrm{ie}^x)}\right) $$ A continuación, la sustitución de $u=\mathrm e^x$ da $$ \int_1^\infty\left(\frac{1}{2+2\mathrm{i}u}+\frac{1}{2-2\mathrm, i, u}\right)\mathrm du=\left[-\frac{1}{2}\mathrm i\ln\left(\frac{\mathrm i}{2}+\frac{1}{\mathrm i+u}\right)\right]_1^\infty=\frac{\pi}{4}.$$

EDIT: tengo que agregar algunos detalles sobre el complejo de logaritmo: Observar que el argumento de $z=\frac{\mathrm i}{2}+\frac{1}{\mathrm i+u}$ satisface $0\leqslant \mathrm{Im}(z)\leqslant\frac{1}{2}$ por lo tanto usted puede elegir la rama principal del logaritmo y el límite se encuentra usando la continuidad de la rama principal del logaritmo. Espero que esto clarifique el procedimiento.