Patologías en la teoría de los módulos

Question

El álgebra lineal es una parte de las matemáticas muy bien llevada. Al poco tiempo de dominar los fundamentos se tiene una buena sensación de qué tipo de afirmaciones deben ser verdaderas, aunque no se conozcan todos los resultados y contraejemplos importantes.

Si se sustituye el campo subyacente por un anillo, y por lo tanto se consideran los módulos, las cosas se vuelven más complicadas. Se producen muchas patologías que quizá no se esperen viniendo del álgebra lineal.

Estoy buscando una lista de estas patologías en las que los módulos se comportan de forma diferente a los espacios vectoriales. Esta lista no debe ser sólo una lista de afirmaciones, sino que todos los fenómenos deben ser ilustrados con un ejemplo.

Para empezar la lista voy a poner una respuesta más abajo con todas las patologías que conozco de memoria. Esto también debería explicar mejor el tipo de lista que tengo en mente.

Answer 1

Mi lista de patologías:

• Un submódulo de un módulo finito no tiene por qué ser finito.

Ejemplo: Dejemos que $K$ sea un campo y $R = K[x_1, x_2, \ldots]$ sea el anillo de polinomios en infinitas variables sobre $K$ . $R$ considerado como un $R$ -es generado por $f(x_1, x_2, \ldots) = 1$ es decir, está generada finitamente. Ahora, dejemos que $S = \langle x_1, x_2, \ldots \rangle$ sea el submódulo de todos los elementos con término constante cero. Supongamos que $S$ está generada finitamente, digamos, $S = \langle f_1, f_2, \ldots, f_n \rangle$ . Como tenemos infinitas variables, existe $x_k$ que no aparece como variable de uno de los $f_i$ . Obtenemos $x_k = \sum_{i=1}^n g_i(X) f_i(X)$ . Reescritura $g_i(X)$ como $g_i(X) = x_k q_i(X) + r_i(X)$ donde $r_i(X)$ no implica $x_k$ . Esto da $x_k = \sum_{i=1}^n (x_k q_i(X) + r_i(X)) f_i(X) = x_k \sum_{i=1}^n q_i(X)f_i(X) + \sum_{i=1}^n r_i(X) f_i(X)$ . La última suma no implica $x_k$ y así debe ser $0$ . Por lo tanto, la primera suma debe ser igual a $1$ lo que no es posible ya que $f_i(X)$ no tiene ningún término constante.

• La siguiente afirmación es falsa para los módulos: $S$ es un conjunto linealmente dependiente $\Rightarrow$ algún elemento en $S$ es una combinación lineal de los demás elementos de $S$ .

Ejemplo: Considere $\mathbb{Z}$ como $\mathbb{Z}$ -módulo. Entonces $2, 3 \in \mathbb{Z}$ son linealmente dependientes, ya que $3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$ . Pero ninguno es una combinación lineal del otro.

• No todos los módulos tienen una base.

Ejemplo: Es aún peor. Hay módulos sin conjuntos linealmente independientes no vacíos. Por ejemplo, consideremos $\mathbb{Z}_n$ como $\mathbb{Z}$ -módulo. Dado que para cada elemento $a \in \mathbb{Z}_n$ tenemos $na = 0$ ningún conjunto unitario es linealmente independiente.

• Un submódulo de un módulo libre (módulo con base) no tiene por qué ser libre.

Ejemplo: $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ es un módulo libre sobre sí mismo que utiliza la multiplicación escalar por componentes. Tiene la base $(1,1)$ pero el submódulo $\mathbb{Z} \times \{ 0 \}$ no es gratis.

• Un módulo cociente de un módulo libre no tiene por qué ser libre.

Ejemplo: $\mathbb{Z}$ como módulo sobre sí mismo es libre en el conjunto $\{1\}$ . Para cualquier $n > 0$ el conjunto $n\mathbb{Z}$ es un submódulo cíclico libre de $\mathbb{Z}$ pero el cociente $\mathbb{Z}$ -Módulo $\mathbb{Z}_n$ no es libre (véase más arriba) a menos que $n=1$ .

• Un submódulo de un módulo no necesita tener un complemento.

Ejemplo: De nuevo, considere $\mathbb{Z}$ como un módulo sobre sí mismo. Todos los submódulos son de la forma $n\mathbb{Z}$ . Tenemos $n \mathbb{Z} \cap m \mathbb{Z} = \mbox{lcm}(n,m) \mathbb{Z}$ . Así que los únicos submódulos complementados de $\mathbb{Z}$ son $\mathbb{Z}$ y $\{ 0 \}$ .

Answer 2

• Un módulo puede tener un aniquilador no nulo. Esto se solapa un poco con el ejemplo del módulo de torsión que has dado antes. Si $R/I$ es un cociente no trivial de un anillo conmutativo, $R$ , entonces es un $R$ módulo con anihlador $I\neq 0$ .

• Un módulo puede ser artiniano pero no noeteriano, y puede ser noeteriano pero no artiniano. Cualquier anillo no artiniano pero noetheriano considerado como un módulo sobre sí mismo es un ejemplo de este último, y $\mathbb{Z}(p^\infty)$ para un primer $p$ es artiniano pero no noeteriano, ya que $(1/p)\supset (1/p^2)\supset\dots$ . Para los espacios vectoriales, estas dos condiciones son equivalentes.

• Algo relacionado con el punto anterior es que los módulos no necesitan tener submódulos máximos, ni tampoco submódulos mínimos. Cualquier dominio que no sea un campo, considerado como un módulo sobre sí mismo, no tiene submódulos mínimos. La página web $\mathbb{Z}$ módulo $\mathbb{Q}$ no tiene submódulos maximales.

• (Esto es una especie de generalización de algunos de sus puntos.) Para los anillos de división, cada módulo es libre (eso es básicamente decir que cada módulo tiene una base) y cada módulo es inyectivo. Pero en el caso general, los módulos no tienen que ser proyectiva o inyectiva . Por ejemplo, cualquier dominio conmutativo que no sea un campo considerado como un módulo sobre sí mismo no es un módulo inyectivo (pero sí, es libre :) ) y en tal dominio, ningún cociente por un ideal propio puede ser un módulo proyectivo.

• Los módulos pueden ser directamente irreducibles sin ser simples. Por ejemplo, cualquier dominio conmutativo que no sea un campo, considerado como un módulo sobre sí mismo, no puede escribirse como un producto directo de dos ideales, sino que tiene ideales adecuados.

• Sobre cualquier espacio vectorial $V$ con endomorfismo $f:V\rightarrow V$ existe otro endomorfismo $g$ tal que $f=fgf$ . Esto se debe a que el anillo de endomorfismo de $V$ es siempre un anillo regular de von Neumann . Sin embargo, los módulos en general no tienen esta propiedad en sus anillos de endomorfismo. De nuevo, cualquier dominio que no sea un campo considerado como un módulo sobre sí mismo es un módulo cuyo anillo de endomorfismo no es regular de von Neumann.

• Dados dos subespacios dimensionales finitos cualesquiera de un espacio vectorial $V$ el isomorfismo puede extenderse a un automorfismo de $V$ . Este ejemplo sería difícil de explicar, pero en resumen, un anillo que hace esto para sus módulos es cuasi-Frobenius por lo que cualquier anillo que no sea de Frobenius tiene un módulo de este tipo. De nuevo, los dominios que no son campos no son cuasi-Frobenius.

• Un subconjunto linealmente independiente máximo no necesita ser una base: considere $2\mathbb Z$ en $\mathbb Z$ como $\mathbb Z$ módulo.

• No es necesario que un conjunto mínimo sea una base: considere que $2$ y $3$ generar $\mathbb Z$ mínimamente, pero no son $\mathbb Z$ independiente.

Answer 3

Me sorprende que no se mencione aquí

Ejemplo de un módulo libre M que tiene bases con diferentes cardinalidades.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión contablemente infinita sobre un anillo de división $D$ . Sea $R=End_D(V)$ . Sabemos que $R$ es libre en $R$ con base $\{1\}$ . Afirmamos que dado un número entero positivo $n$ Hay un $R$ -base $B_n=\{f_1,f_2, \dots f_n\}$ para $R$ teniendo $n$ elementos.

Dejemos que $B=\{e_k\}_{k=1}^{\infty}$ sea una base de $V$ en $D$ . Definir $\{f_1, \dots , f_n\}\in R$ especificando sus valores en $B$ como en la siguiente tabla-

$$\begin{array}{|c| ccccc|} \hline & f_1 & f_2 & f_3 & \dots & f_n \\ \hline e_1& e_1&0 &0 & \dots & 0\\ e_2& 0 & e_1 &0 & \dots & 0\\ \vdots& & & & \ddots\\ e_n & 0 &0 &0 & \dots & e_1 \\ \hline e_{n+1} & e_2 &0 &0 & \dots & 0 \\ e_{n+2} & 0 &e_2 &0 &\dots &0 \\ \vdots & & & &\ddots & \\ e_{2n} & 0 &0 &0 & \dots & e_2 \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ \hline e_{kn+1} & e_{k+1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ e_{kn+2} & 0 & e_{k+1}&0& \dots &0 \\ \vdots & &&&\ddots & \\ e_{(k+1)n} &0&0&0& \dots& e_{k+1} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ \end{array}$$

Ahora comprobamos que $B_n$ es un $R$ - base de $R$ .

• Linealmente independiente.

Si $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_i=0$ con $\alpha_i \in R,$ evaluando luego en los sucesivos bloques de $n$ vectores, a saber , $e_{kn+1}, \dots , e_{(k+1)n}, k=0,1,\dots ,$ obtenemos $\alpha_i(e_{k+1})=0\ \forall\ k$ y $1 \le i \le n ;$ es decir $\alpha_i \equiv 0\ \forall\ i$ demostrando que $B_n$ es linealmente independiente sobre $R$ .

• $B_n$ abarca $R$ -

Dejemos que $f\in R$ entonces $f= \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_i,$ donde $\alpha_i \in R$ se definen por sus valores en $B$ como en la siguiente tabla-

$$\begin{array}{|c| ccccc|} \hline & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \dots & \alpha_n \\ \hline e_1& f(e_1)&f(e_2) &f(e_3) & \dots & f(e_n)\\ e_2& f(e_{n+1}) & f(e_{n+2}) &f(e_{n+3}) & \dots & f(e_{2n})\\ \vdots& & & & \ddots\\ e_n & f(e_{(n-1)n+1}) & f(e_{(n-1)n+2}) &f(e_{(n-1)n+3}) & \dots & f(e_{n^2}) \\ \hline e_{n+1} & f(e_{n^2+1}) &f(e_{n^2+2}) &f(e_{n^2+3}) & \dots & f(e_{n^2+n}) \\ e_{n+2} & . & . &. &\dots &f(e_{n^2+2n}) \\ \vdots & & & &\ddots & \\ e_{2n} & f(e_{2n^2-n+1}) &f(e_{2n^2-n+2}) &f(e_{2n^2-n+3}) & \dots & f(e_{2n^2}) \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ \hline e_{kn+1} & f(e_{kn^2+1}) & f(e_{kn^2+2}) & f(e_{kn^2+3}) & \dots & f(e_{kn^2+n}) \\ e_{kn+2} & . & .&.& \dots &f(e_{kn^2+2n}) \\ \vdots & &&&\ddots & \\ e_{(k+1)n} &.&.&.& \dots& f(e_{(k+1)n^2}) \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ \end{array}$$

Esto demuestra que $B_n$ abarca $R$ .

Así que para cada $n > 0$ , $B_n= \{f_n\}$ es un base de la cardinalidad $n$

Answer 4

Todas las secuencias cortas exactas $0\to U\to V\to W\to 0$ de los espacios vectoriales divididos, lo que se puede demostrar utilizando el hecho de que todos los espacios vectoriales tienen bases. No ocurre lo mismo con los módulos en general. En $\mathbb{Z}$ la secuencia exacta $0\to\mathbb{Z}\overset{\times n}{\to}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0$ no se divide ya que cualquier homomorfismo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ es cero.