Una segunda opinión en una prueba en la topología

Question

Mi amigo y yo estábamos mirando por encima de algunas preguntas sobre los deberes para la próxima prueba en introductorio de la topología, y una de las preguntas sobre la tarea era para demostrar que un espacio métrico es normal. Lo que ocurrió en el spot fue este:

Set $(X, d)$ un espacio métrico. Deje $A, B$ ser cerrados y disjuntos subconjuntos de a $X$. A continuación, vamos a

\begin{align*} U = \{x : d(x, A) < d(x, B) \}, \\ V = \{x : d(x, A) > d(x, B) \} \end{align*}

Claramente $U$ contiene $A$, e $V$ contiene $B$. Además, $U$ $V$ cada uno son distintos. La única cosa que queda es demostrar la apertura, y aquí es donde quiero estar seguro de que lo tengo.

Deje $f : x \mapsto d(x, A) + i d(x, B)$ ser un mapa de$X$$\mathbb{C}$. Es claramente continua. Ahora, $U$ es la pre-imagen de $\{ a + bi : b > a \}$, un conjunto abierto, por lo $U$ está abierto, y de la misma manera para $V$.

Se me ocurrió esto sobre la marcha. Sólo quiero estar seguro de que este método es el sonido.

Edit: también me acaba de ocurrir que un simple mapa de haber utilizado podría haber sido $g : x \mapsto d(x, A) - d(x, B)$, y luego mirar a la pre-imágenes de positivos y negativos.

Answer 1

Su método puede ser un poco inusual, pero es el sonido (se puede ver un poco más natural con $\mathbb R^2$ en lugar de $\mathbb C$, pero para qué).

He aquí un enfoque alternativo: Para cada una de las $r$, los conjuntos de $\{\,x:d(x.A)<r\,\}$ $\{\,x:d(x,B)>r\,\}$ están abiertas, por lo tanto también lo es la intersección $U_r:=\{\,x:d(x.A)<r<d(x,B)\,\}$ de estos dos. A continuación, la unión de $U=\bigcup_r U_r$ también está abierto.