Constructivo prueba de acotamiento de funciones continuas

Question

Considerar el teorema de la función continua:

Deje $a<b$ ser números reales, y deje $f:[a,b]\to{\bf R}$ ser una función continua en a $[a,b]$. A continuación, $f$ es un almacén de función.

La prueba en el clásico libro de texto en análisis real utiliza el Heine-Borel teorema. Dosis no dicen cómo encontrar el límite de $f$, pero muestran que tener $f$ ilimitada conduce a una contradicción.

Aquí están mis preguntas:

• Hay una directa [EDITADO: constructivo] la prueba de este teorema?

• De manera más general, puede un teorema de matemáticas siempre han constructiva de la prueba? O ¿qué tipo de declaraciones no tienen ningún constructivo prueba, dicen, uno tiene el uso de técnicas tales como "prueba por contradicción" con el fin de demostrar?

Answer 1

Hay una natural a prueba de uso sup. Consideremos el conjunto a $X=\{ x \in [a,b] : f \mbox{ is bounded in } [a,x] \}$. A continuación, $X$ no está vacío y no $t<b$ es un límite superior para $X$. Por lo tanto $b=\sup X$ $f$ es acotada en el intervalo completo. Este argumento es realmente la misma que la utilizada en Heine-Borel: para funciones continuas en conjuntos compactos, localmente acotado implica a nivel mundial acotada. Que $f$ es localmente acotada viene de continuidad y se utiliza para demostrar que no $t<b$ es un límite superior para $X$.

Answer 2

No hay a priori obligado en la función: considere la función constante $f = M$. También, el máximo que puede ser alcanzado en cualquier momento dado - acaba de tomar cualquier ecuación cuadrática.

En cuanto a la segunda pregunta, que realmente depende de su noción de "directamente".

En la construcción de las matemáticas, creo que una función continua, suministrado con algunas "módulo de continuidad", que implica inmediatamente (directamente) acotamiento. Si se puede demostrar intuitionistically que el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad implica acotamiento - probablemente no, pero pregunta a un experto!

Answer 3

En cuanto a tu pregunta acerca de las declaraciones que pueden ser probados "directamente" o no, me parece que este artículo por Tim Gowers y el resultado de la discusión en los comentarios es muy interesante. Incluso aborda el Heine-Borel teorema.

Answer 4

Deje $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de puntos tales que $|f(x_n)|$ converge a $M = \sup_x |f(x)|$. Usted puede pasar a una convergente subsequence $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ que converge a algunos $y \in [a,b]$. Entonces, por la continuidad de $f(x)$ $$|f(y)| = \lim_{k \rightarrow \infty} |f(x_{n_k})| = M$$ Por lo $f(y) = \pm M$; por lo tanto, $M$ es finito y $|f(y)|$ alcanza el valor de $M$. La prueba de la existencia de convergentes subsecuencias como en la prueba de los teoremas de Bolzano-Weierstrass teorema, el uso de la división en mitades y así sucesivamente, no es por la contradicción y es bastante constructivo.

Answer 5

Esto se consideraría una prueba directa?

Pick $x_n$ una secuencia que es denso en $[0,1]$. Deje $y_n =f(x_n)$$z_n =\max_{1 \leq i \leq n} y_i$.

A continuación, $z_n$ es creciente, y por lo tanto tiene un límite.

Deje $A:= \{ m | z_m > z_{m-1} \}$. Si $A$ es finito, tiene un máximo de $k$ y desde $y_n \leq z_k$ por cada $n$, se deduce que el $z_m$ es el máximo de $f(x)$.

Si $A$ es infinito, entonces el orden de sus elementos incresingly $n_1 < n_2 < ..< n_k< ...$. Entonces, por la definición de $A$, la secuencia de $y_{n_k}$ es creciente y

$$y_{n_k}=z_{n_k}= \max_{1 \leq i \leq n_k} y_i (*) \,.$$

Finalmente escoger un convergentes subsequence $x_{m_l}$$x_{n_k}$. Deje $a$ es el límite de este.

Por la continuidad

$$\lim_{l \to \infty} y_{m_l}= f(a) \,.$$

Desde $y_{m_l}$ es una larga de $y_{n_k}$, e $y_{n_k}$ es el aumento obtenemos

$$\lim_{k \to \infty} y_{n_k}= f(a) \,.$$

Pero luego, desde el $y_{n_k}$ es creciente, se obtiene a partir de a $(*)$ que $y_n \leq f(a)$ todos los $n$. Ahora la densidad de $\{ x_n \}$ completa la prueba.

Nota que usamos Heine-Borel teorema de la prueba, cuando elegimos un convergentes larga de $x_{k_n}$ (a menos, claro, que uno define la compacidad de esa manera). No importa lo que la prueba se intenta, desde el mismo theoremfails para $(0,1)$, de alguna manera la compresión está limitada a venir en el juego....