A El número de Sierpinski es un número impar $k$ de tal manera que $k2^n+1$ sólo toma valores compuestos. En 1962, Selfridge demostró que $78557$ es un número de Sierpinski. Sigue siendo el número más pequeño conocido.
¿Cómo fue $78557$ que originalmente se sospechaba que era un candidato para probar esta propiedad? El año 1962 se encuentra en los albores de la era en la que algunos la búsqueda por ordenador podría haber sido posible, pero me sorprendería si ese fuera el caso.
Los restos de $k2^n+1\pmod{p}$ repetir para cualquier primo $p$ .
Si $k=2\pmod3$ entonces $k2^n+1$ es un múltiplo de 3 para los pares $n$ ; si $k=1\pmod3$ entonces $k2^n+1$ es un múltiplo de 3 para impar $n$ .
Si $k=1\pmod5$ entonces $k2^n+1$ es un múltiplo de 5 para $n=4m+2$ .
Y así sucesivamente. Lo que hizo fue encontrar un conjunto de $p_r$ y residuos $b_r$ para que cubran todos los valores de $n$ .
Elija $k=2\pmod3$ y $k=3\pmod5$ y has cubierto todo menos $n=1\pmod4$ .
Después de $p=17$ tienes todo menos $n=1\pmod8$ porque $17|2^8-1$ .
Después de $p=7$ tienes todos los residuos menos dos $\mod 24$
Después de $p=13$ tienes todos los residuos menos uno $\mod 24$ Después de $p=241$ tienes todo $n$ cubierto.
Hay algunas opciones en las clases de residuos. Para cualquier conjunto $k=\{b_r\pmod p_r\}$ Utiliza el teorema del resto chino para encontrar $k$ .
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