Qué$f, f' \in L^1([0, \infty))$ implica que$\lim_{x \to \infty} xf(x) = 0$?

Question

Qué$\int_0^\infty |f(x)| \, dx$ y$\int_0^\infty |f'(x)| \, dx$ son finitos implicar que$\lim_{x \to \infty} xf(x) = 0$?

(Contexto:. Estoy trabajando a través de un libro de texto de la teoría analítica de números En un lema, el libro asume que las condiciones en$f$ y$f'$ El término$xf(x)$ aparece de una integración por partes, pero. se lanza hacia fuera, que debe significar que$\lim_{x\to\infty} xf(x) = 0$. sin embargo, he tratado de demostrar esto y no tuvo éxito. Asimismo, no puede pensar en cualquier contraejemplos.)

Answer 1

Aquí está la construcción de un contraejemplo. La idea se basa en una construcción simple para la serie que se da en la p. 350 del centenario de la edición de G. H. Hardy es Un Curso de Matemáticas Puras. La idea de Hardy ejemplo es la construcción de una secuencia $\{a_n\}$ de números positivos tal que $\sum a_n < \infty$ pero $na_n \not\to 0$$n\to\infty$; para hacer esto simplemente pone $a_n = 1/n^2$ si $n$ es un cuadrado perfecto, en cuyo caso se pone a $a_n = 1/n$.

Para adaptar esta idea, elija una función suave $\rho$,$0\leq \rho \leq 1$, que se apoya en $(-2,2)$ y que satisface $\rho(x)=1$ todos los $x \in (-1,1)$. Deje $M$ ser un límite para $|\rho'|$. Poner $$ \begin{align*} \eta(x) & = \sum_{n = 2}^\infty \rho(x - n^2). \end{align*} $$ Básicamente, $\eta$ es idéntica $1$ en un vecindario de cada cuadrado entero, y se desvanece en cada una de las $x$ que $(x-2,x+2)$ no contiene el cuadrado entero. De hecho, desde los soportes de $\rho(x-n^2)$ son distintos, tenemos $0\leq \eta\leq 1$$|\eta'|\leq M$.

Por último, definir $$ f(x) = {\eta(x)\más de 1 + x}. $$ para $x \geq 0$. Obviamente $f(x)\geq 0$ todos los $x$. También, $f$ es integrable, ya que $$ \begin{align} \int_0^\infty f(x)\,dx &\leq \sum_{n = 2}^\infty \int_{n^2 - 2}^{n^2 + 2}{dx\over 1 + x} \leq \sum_{n = 2}^\infty{4\over n^2 - 1}. \end{align} $$

Ahora $$ \begin{align} f'(x) & = {\eta'(x)\over 1+x} + O\left({1\over (1+x)^2}\right) \end{align} $$ como $x \to \infty$. Desde $|\eta'|\leq M$, obtenemos $$ \begin{align*} \int_0^\infty{|\eta'(x)|\over 1+x}\,dx & = \sum_{n = 2}^\infty \int_{n^2-2}^{n^2+2}{|\eta'(x)|\over 1+x}\,dx \leq M\sum_{n = 2}^\infty {4\over n^2-1}, \end{align*} $$ y de ello se sigue que $f'(x)$ es integrable sobre$(0,\infty)$.

Por otro lado, $xf(x) \not\to0$$x\to\infty$, desde $$ n^2f(n^2) = {n^2\más de 1 + n^2} \a 1 $$ como $n\to\infty$. Por lo tanto $f$ proporciona un contraejemplo.

Answer 2

Una manera de pensar acerca de los problemas de este tipo es en términos de interpolación lineal. Definir su función$f(n)=a_n>0$ let$f$ de ser lineal entre$[n,n+1].$ A continuación,$f\in L_1$ es equivalente a$\sum_{n=1}a_n<\infty$ mientras que$f'\in L_1$ es equivalente a$\sum_{n=1}|a_{n+1}-a_n|<\infty.$ Ahora está claro que el ejemplo estándar de serie mencionado por Nick satisface ambas condiciones. Lo único que queda es "suavizar"$f$ en las esquinas para asegurarse de que existe$f'$.

Answer 3

Para estimar$xf(x)$ consideramos$$\int^{a}_{0} f(x)dx=xf(x)|^{a}_{0}-\int^{a}_{0}xf'(x)$$ We know the first term is finite since $ f \ in L ^ {1}$, so if $ \ lim_ {a \ rightarrow \ infty} af (a) = 0$ we must require $ \ int ^ {\ infty} _ {0} xf '(x)$ be finite as well. To be more precise we need $ $\int^{\infty}_{0}f(x)dx=-\int^{\infty}_{0}xf'(x)$ $because the middle term goes to $ $ 0.

Sin embargo, no es claro para mí cómo encontrar un contraejemplo usando el criterio anterior. La condición de que$xf'(x)$ debe ser integrable es un ser bastante fuerte, pero parece estar bien para todas las funciones elementales de prueba se me ocurren. Por otro lado también no sé cómo demostrar que el uso de$f,f\in L^{1}$. Esperamos que este 25 centavos podrían ser útiles.