Supongamos que $c$ es un punto aislado en el dominio $D$ de una función $f$. ¿En el vecindario delta de $c$, la función $f$ tiene el valor $f(c)$?
También puedes ver que esto es cierto usando la definición topológica de continuidad en un punto: una función es continua en un punto $f(x)$ si para cualquier vecindario $V$ de $f(x)$ existe un vecindario $U$ de $x$ tal que $f(U)$ está contenido en $V$. Para un punto aislado, puedes tomar el vecindario que consiste solo en el punto $c$, por lo que su imagen $f(c)$ obviamente estará contenida en $V, ya que $V$ es un vecindario de $f(c)$.
Por favor, ilumíname: No logro ver cómo $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R} | f(n) = \frac{1}{n}$ es continua en cada punto en $\mathbb{N}$. (Digamos que $0\not\in\mathbb{N}$.)
$f$ es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es abierta. Suponiendo que se le da a $\mathbb{N}$ la topología heredada de $\mathbb{R}$, cada conjunto en $\mathbb{N}$ es abierto, por lo que la afirmación es vacuamente verdadera. Para mostrar que cualquier conjunto es abierto, considere el conjunto $(n-1/2, n+1/2)\cap\mathbb{N}$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$. Este es un conjunto abierto; también es igual a $\{n\}$. Entonces, $\{n\}$ es abierto para todo $n$; el hecho de que cada conjunto sea abierto sigue directamente (es decir, $\mathbb{N}$ hereda la topología discreta de $\mathbb{R$).
No estoy seguro de qué tiene que ver todo esto con la continuidad en puntos aislados. Aquí hay un contraejemplo: Sea $A=[0,1]\cup\{2\}$ y $f(x)=\big\{0:x\in[0,1];1:\text{otherwise}\big\}$. Elija $c=2$ y $\epsilon=\frac{1}{2}$. No importa qué $\delta$ se elija, $0<|x-c|<\delta$ implica $|f(x)-f(c)|=1\not<\epsilon$. Por lo tanto, $f$ no es continua en $c$, que es un punto aislado en $A.
Ahora veo que los comentarios anteriores proporcionan esencialmente la respuesta, con la definición de continuidad que tengas. Lo siguiente une todo.
Usaremos como definición de continuidad $\lim_{x \rightarrow c}\,f(x) = f(c)$. Expande: Para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x-c| < \delta$ es cierto que $|f(x)-f(c)| < \varepsilon$. Cuando $\delta$ es lo suficientemente pequeño, no hay puntos $x$ que funcionen, por lo que la parte después del tal que es vacuamente verdadera.
A menudo la continuidad se indica usando $|x-c|\lt\delta$ en lugar de $0 < |x-c| < \delta$, lo que no hace ninguna diferencia lógica, pero en este caso evita recurrir a la verdad vacua.
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¿Si delta es pequeño, qué elementos de D van a estar en un vecindario delta de c?
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@Jonas: Si no hay elementos en el vecindario delta de c, entonces f no está definida en este vecindario delta número.
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Nunca sucede que el vecindario delta esté vacío. Después de todo, contiene a c.
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@Jonas: Entendido. Solo contiene c.
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Sí, para delta suficientemente pequeño. Entonces puedes ver todos los valores que f puede tener en dicho vecindario.