Completar el cuadrado para$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$

Question

Estoy estudiando para un examen de matemáticas. Esta es la pregunta:

$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$. completar el cuadrado.

Esto es lo que me sale fuera de la cuestión:$$2x^2 + 4x - 6$ $$$2(x^2 + 2x - 3)$ $$$2(x^2 + 2x + 1^2 - 1^2 - 3)$ $$$2((x + 1)^2 - 4)$ $

Pero aquí se queda bloqueado. Alguien puede completarlo y explicar?

Lo siento se me olvidó una pieza importante de la pregunta que dice: Completar el cuadrado y derivadas para obtener el valor mínimo de paro$f(x)$

Answer 1

Está más o menos hecho. No sé cómo se le pedirá que deje su respuesta, pero hay tres posibilidades.

1. Usted podría dejarlo como lo que es: $2x^2 + 4x-6 \equiv 2[(x+1)^2-4]$.
2. Usted podría expandir el factor de dos: $2x^2 + 4x - 6 \equiv 2(x+1)^2 - 8$.
3. Usted puede tomar los dos dentro de la plaza: $2x^2 + 4x -6 \equiv (\sqrt{2}x+\sqrt{2})^2-8.$

EDITAR:

Se añade el hecho de que, a continuación, debe encontrar el valor mínimo de la función. Desde $\operatorname{f}(x) \equiv 2(x+1)^2 - 8$ usted encuentra que $\operatorname{f}(x) \ge -8$ todos los $x$. Esto es debido a que $2(x+1)^2 \ge 0$ todos los $x$. La función toma su valor mínimo cuando $2(x+1)^2 = 0$, es decir, cuando se $x=-1$.

Answer 2

Vuelva a escribir su expresión como $$ 2x ^ 2 4x b-6-b $$ para cualquier$b>0$. Para cerrar la plaza que necesita la expresión en forma $$ (\ alpha x \ beta) ^ 2- (6 b) = \ alpha ^ 2x ^ 2 2 \ alpha \ beta x \ beta ^ 2- (6 b) $$ se obtiene inmediatamente$\alpha=|\sqrt{2}|,\beta=|\sqrt{b}|$, por lo tanto, su expresión es $$ (| \ sqrt {2} | x | \ sqrt {b} |) ^ 2- (6 b) $$ Si desea puede establecer$b=2$ $$ para obtener 2 (x 1) ^ 2- (6 2) $$

Answer 3

Dado:

$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$. completar el cuadrado.

$f(x)=2x^2+4x-6$

$f(x)=2x^2+4x-6 $

$f(x)=2(x^2+2x)-6$

$f(x)=2[x^2+\dfrac{2x}{2}+(1)^2]-6$

$f(x)=[2(x+1)^2 -1]-6$

$f(x)=2(x+1)^2-8$, Lo que es lo mismo que:$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$

Esto puede ser confirmado mediante el uso de una calculadora de gráficas tales como: https://www.desmos.com/

Answer 4

$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$. completar el cuadrado.

Esto es cuanto puedo salir de la pregunta: $$2x^2 + 4x - 6$$ $$2(x^2 + 2x - 3)$$ Para facilitar su comprensión en esta etapa ignorar el 2 y considerar

$$(x^2 + 2x - 3)$$ Siguiente paso $$(x+1)^2=x^2+2x+1$$ Aquí hemos dividido el coeficiente del término x por $\frac{1}{2}$ ya que cuando se agota conseguimos que el término dos veces como acaba de verse allí.

Siguiente nota que ahora tenemos 1 en lugar de -3 por lo tanto para equilibrar esto nos -4. Es decir, $$(x+1)^2+1-4 = (x+1)^2-3$$

Ahora es un buen punto acerca de cómo completar el cuadrado es el que podemos encontrar el mínimo valor y punto fácilmente. Tenga en cuenta que con la mano derecha, la IZQUIERDA tenemos un cuadrado de la cláusula que contiene la $x$ ya que todos los cuadrados de los números es mayor que o igual a cero el más pequeño podemos hacer que este término es $0$ y esto se hace en $x=-1$.

Ahora tenemos a este punto podemos sustituir el $x=-1$ en nuestra anterior ecuación:

$$2(x^2 + 2x - 3)$$

para obtener

$$2((-1)^2 + 2(-1) - 3) = -8$$

Answer 5

Bueno, primera vez que voy a dar un ejemplo para motivar el método. Piense por ejemplo en $(x+1)^2$ si expande esto normalmente obtendrá $x^2+2x+1$, aviso que este es el cuadrado del primer término más el doble del primer término de veces el segundo término, más el segundo término al cuadrado. Así que si tenemos una expresión arbitraria como la tuya va a ser posible extraer de ella una expresión que es el cuadrado de la suma de dos números más otro número.

Ha $f(x) = 2x^2+4x-6$, de modo que divida esto por $2$ conseguir $f(x)/2 = x^2+2x-3$, la razón por la que hice esta pronto a aparecer. Ahora mira justo en el lado derecho, si queremos escribir esto como $(x+\text{something})^2$ sabemos que va a tener antes que nada, el primer término al cuadrado, es decir, $x^2$, pero mira allí! Ya tiene $x^2$ en su expresión (y es exactamente el primer término al cuadrado porque hemos dividido por $2$, de modo que sólo $x^2$ restante).

Ahora, usted tiene $2x$, recuerde que el segundo término que aparece después de la expansión de la plaza debe ser dos veces el primer término de veces el segundo término, ahora tienes el segundo término $2x$, y usted sabe que este es el segundo término porque tiene el primer término multiplicado por algo. Tenga en cuenta que en la expansión, sólo en este lugar aparece el primer término de veces algo sin ser cuadrado. Ahora, ya que es dos veces el primer término de veces el segundo término, y sice $x$ es el primer término, si dividimos esto por $2\cdot x$ (el doble del primer término) vamos a obtener el segundo término! Ahora, hacer esto tenemos que el segundo término debe por $1$.

Ahora, tenemos no menos de $3$, no el cuadrado del segundo término como se esperaba. Ahora nos revisión que completar el cuadrado, simplemente la suma y resta el segundo término al cuadrado (y no alterar nada, puesto que sumando y restando juntos tiene como objetivo sumar cero), por lo que podemos escribir:

$$f(x)/2 = x^2+2x +1 - 1 - 3$$

Ahora, la cosa $(x^2+2x+1)$ sólo $(x+1)^2$$-1-3 = -4$, de modo que tenemos en la final $f(x)/2 = (x+1)^2 - 4$$f(x) = 2(x+1)^2 - 8$. Usted puede comprobar fácilmente que es lo mismo que tenía antes:

$$f(x) = 2(x^2+2x+1)-8 = 2x^2+4x+2 - 8 = 2x^2 + 4x -6$$

Espero te sirva de ayuda. Mi sugerencia es que usted trate de repetir este argumento a otro problema para que usted obtenga el mejor práctica.