Cuando es$(-1+\sqrt{5})^x$ un número racional?

Question

Cuando es$(-1+\sqrt{5})^x$ un número racional para algún entero$x$?

Sabemos que$(-1+\sqrt{5})^x = A+B\sqrt{5}$ desde$5$ es un número primo para$x > 0$, pero ¿Cómo se determina cuando el$B$ término es$0$? Del mismo modo, cuando$x$ es negativo.

Answer 1

Para una respuesta más elemental, tenga en cuenta que el recíproco de$(-1+\sqrt5)^x$, que es$(1+\sqrt5)^x4^{-x}$, también debe ser racional, por lo tanto, también lo es$(1+\sqrt5)^x$. Ahora se puede aplicar el teorema del binomio sin preocuparse por la cancelación de ver que entre los números enteros no negativos solamente$0$ produce un número racional, y los valores negativos de$x$ de rendimiento los recíprocos que por lo tanto también debe ser irracional.

Answer 2

Aquí es un enfoque diferente al problema. Deje$\varphi:\mathbb{Q}(\sqrt{5})\to\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ sea el automorfismo que envía$\sqrt{5}$ a$-\sqrt{5}$. Tenga en cuenta que para$a\in \mathbb{Q}(\sqrt{5})$,$a\in\mathbb{Q}$ IFF$\varphi(a)=a$. Así que si$(-1+\sqrt{5})^x$ es racional, entonces $$(-1+\sqrt{5})^x=\varphi((-1+\sqrt{5})^x)=(-1-\sqrt{5})^x.$$ This clearly can only happen for $x = 0$ (for instance, since $\ left | -1 \ sqrt {5} \ right | <\ left | -1- \ sqrt {5} \ right |$ so $\ left | (-1 \ sqrt {5}) ^ x \ right | <\ left | (1- \ sqrt {5}) ^ x \ right |$ for $x> 0$ and $\ left | (-1 \ sqrt {5}) ^ x \ right |> \ left | (1- \ sqrt {5}) ^ x \ right |$ for $x <0$).

Answer 3

Es una consecuencia inmediata del teorema de Gelfond-Schneider (también conocido como el teorema de Gelfond) que si$(-1+\sqrt 5)^x$ es racional y$x\ne 0$ #%% luego #% es trascendental sobre los números racionales. Y, por supuesto, sólo hay una cantidad numerable$x$ para los que$x$ es racional.