Dejemos que $f:X\rightarrow S$ sea un morfismo de esquemas. La definición de un divisor efectivo de Cartier en $X/S$ dado en Katz-Mazur (lo que se llama divisor efectivo relativo de Cartier en el Proyecto Stacks) es: un subesquema cerrado $i:D\hookrightarrow X$ tal que la gavilla ideal $I(D)$ es invertible y $f\circ i:D\rightarrow S$ es plana.
Tengo dos preguntas (posiblemente relacionadas).
Pregunta 1: ¿Es la planitud de $f\circ i$ equivalente a la planitud de la $\mathscr{O}_X$ -Módulo $i_*\mathscr{O}_D\cong\mathscr{O}_X/I(D)$ en $S$ ?
Creo que la respuesta a esta pregunta es sí, pero sólo porque $i$ es una inmersión cerrada. La planicidad de $f\circ i$ significa el morfismo $\mathscr{O}_{S,f(i(x))}\rightarrow\mathscr{O}_{D,x}$ es plana para todos los $x\in D$ mientras que la planitud de $i_*\mathscr{O}_D$ en $S$ significa para cada $x\in X$ , $(i_*\mathscr{O}_D)_x$ es plana sobre $\mathscr{O}_{S,s}$ (o, de forma equivalente, $i_*\mathscr{O}_D$ es un piso $f^{-1}\mathscr{O}_S$ -). Porque $i$ es una inmersión cerrada, $(i_*\mathscr{O}_D)_x$ es cero o $\mathscr{O}_{D,x}$ según $x$ está o no está en $D$ . De ello se deduce la equivalencia de las dos condiciones. Pero seguramente para un morfismo general $D\rightarrow X$ (no necesariamente una inmersión cerrada), la planitud de $D$ en $S$ y la planicidad de $i_*\mathscr{O}_D$ en $S$ son diferentes, ¿verdad?
Pregunta 2: En Katz-Mazur, se afirma (aunque implícitamente) que en la secuencia
$0\rightarrow \mathscr{O}_X\rightarrow I(D)^{-1}\rightarrow i_*\mathscr{O}_D\otimes_{\mathscr{O}_X}I(D)^{-1}\rightarrow 0$ ,
que se obtiene aplicando el functor exacto $-\otimes_{\mathscr{O}_X}I(D)^{-1}$ a la secuencia exacta $0\rightarrow I(D)\rightarrow\mathscr{O}_X\rightarrow i_*\mathscr{O}_D\rightarrow 0$ (aquí $I(D)^{-1}$ es la inversa de la invertible $\mathscr{O}_X$ -Módulo $I(D)$ ), el cociente es $S$ - plana. No veo por qué esto es así. Ni siquiera se me ocurre un hecho algebraico al que se pueda reducir. Tal vez ayude pensar en el cociente como $I(D)^{-1}/1_DI(D)^{-1}$ donde $1_D$ es la sección que define la inyección $\mathscr{O}_X\rightarrow I(D)^{-1}$ .
La razón por la que digo "implícitamente" arriba es porque, aunque la afirmación de mi segunda pregunta nunca se hace explícitamente, después de definir los divisores efectivos de Cartier y escribir la secuencia exacta arriba, KM considera los pares $(\mathscr{L},\ell)$ que consiste en un invertible $\mathscr{O}_X$ -Módulo $\mathscr{L}$ y una sección regular $\ell$ de $\mathscr{L}$ lo que significa que el mapa asociado $\mathscr{O}_X\rightarrow\mathscr{L}$ es inyectiva, tal que en la secuencia
\begin{equation*} 0\rightarrow\mathscr{O}_X\rightarrow\mathscr{L}\rightarrow\mathscr{L}/\mathscr{O}_X\rightarrow 0 \end{equation*}
el cociente es $S$ -plana. Por último, describen una correspondencia biyectiva entre las clases de isomorfismo de tales pares y los divisores efectivos de Cartier, dada por $D\mapsto (I(D)^{-1},1_D)$ . Por eso creo que la afirmación sobre $S$ -plano del cociente en la secuencia exacta de la pregunta 2 se está haciendo implícitamente.
