La prueba de que$E(X)<\infty$ implica$\lim_{n\to\infty}n\Pr(X\ge n) = 0$?

Question

Como dice el título. Creo que esto debería seguir de principio a fin pero no puedo encontrar una prueba.

Mi variable aleatoria de interés $X$ toma valores en los enteros no negativos. La única otra hipótesis sobre su distribución es que $E(X)<\infty$. Yo quiero probar: $$\lim_{n\to\infty}n\Pr(X\ge n) = 0.$$ El hecho de que este debe seguir es la que se hace referencia por ejemplo, por DeGroot (2004) "Óptimo del Estadístico de Decisiones" p. 295, pero no hay pruebas de que se da.

Todo lo que tengo ahora es que sin la constante $n$ es fácil probar usando la desigualdad de Markov: $$\Pr(X\ge n) \le \frac{1}{n}E(X) \to 0.$$ Agradezco cualquier ayuda en calcular esto.

Answer 1

Este hecho debe ser cierto para cualquier secuencia monótona decreciente$a_n$ con$\sum_{i=1}^\infty a_i<\infty$. Recordemos la prueba de Cauchy condensación que dice que$\sum_{i=1}^\infty a_i<\infty$ converge si y sólo si$\sum_{i=1}^\infty 2^i a_{2^i}<\infty$ converge, de modo que tengamos$2^na_{2^n}\rightarrow 0$ y por monotonicidad si dejamos$k(n):=\log_2(n)$, entonces$0\leq na_n \leq 2^{k(n)}a_{2^{k(n)}}$, lo que implica $na_n\rightarrow 0$.

Ahora usa el hecho de que$\sum_{i=1}^\infty P(X\geq i)=E(X)$ para las variables aleatorias entero no negativo.

Answer 2

Tenga en cuenta que para cada$N$,$$\sum_{j=1}^Nj\mu(j\leqslant X\leqslant j+1)\leqslant EX,$ $% # de ahí% # $%, es decir,$$\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant N}\mu(j\leqslant X\leqslant j+1)\leqslant EX,$ $ Esto da que la serie$$\sum_{i=1}^N\mu(i\leqslant X\leqslant N+1)\leqslant EX.$ es convergente. Como la secuencia$\sum_{j\geqslant 0}\mu(j\leqslant X)$ es no negativo y no creciente, esto da el resultado.

Answer 3

Nótese que por cada$n$$|X| \geq n 1_{|X|\geq n}$ y que como$n \to \infty$ el lado derecho tiende a cero puntual casi con toda seguridad desde$E[X] < \infty$ implica que la medida del conjunto donde$X = \infty$ es cero. El resultado se deduce del teorema de convergencia dominada.