(La respuesta de Qmechanics es de hecho correcta, pero me gustaría dedicar algunas palabras más. Finalmente llegué a la imagen mediante la lectura de la Teoría Cuántica de campos de Campos II por Weinberg).
Weinberg adreses la pregunta en su segunda Teoría Cuántica de campos si cuando los campos no pertenecen a la mayor representación de la cobertura de grupo $\tilde{G}$, si debemos considerar el medidor de la no-simplemente conectado grupo $G$ o su cobertura de grupo $\tilde{G}$.
Este era el problema de mi antes no me entiende a qué grupo tuvo que considerar $G$ o $\tilde{G}$. ¿Los resultados, es decir, el espectro de los monopolos, el cambio por lo que ninguna de las dos opciones?
Él, a continuación, argumentos que no. E. g. En un mundo tridimensional, es decir, con un $S^3$ límite, el topológicamente estable monopolo de configuración está determinada por la segunda homotopy grupo $\pi_2(G/H)$. Esto, como es mencionado por Qmechanics esto puede ser calculada como el núcleo de el mapa
$$\pi_1(H) \rightarrow \pi_1(G)$$
al $H$ está incrustado en $G$.
Sin embargo, cuando reemplazamos $G$ por su cobertura de grupo $\tilde{G}$, también debemos cambiar la $H$ su pre-imagen de $\tilde{H} = \Pi ^{-1}(H)$ por la proyección canónica $\Pi: \tilde{G}\rightarrow G$ . Esto es debido a que los bucles en $H$ no necesariamente 'cerrar' al $H$ está incrustado en $\tilde{G}$. Estos son los lazos que no se vuelven triviales al $H$ está incrustado en la cubierta de grupo $\tilde{G}$. Por lo tanto, podemos identificar
$$\pi_2(G/H)=\pi_1(\tilde{H}) $$.
Pero esto significa que no noet la materia, para los monopolios en cualquier caso, si tenemos en cuenta el calibre del grupo a $\tilde{G}$ en lugar de $G$.
Un ejemplo: la Georgi-Glashow modelo.
Aquí el grupo gauge puede ser identificado como el doblemente conectado grupo $SO(3)$. Su cobertura de grupo es (simplemente conectado) $SU(2)$.
La ininterrumpida de simetría son la rotación en el plano de la $SO(2)$ donde las rotaciones a las que difieren de $2\pi$ son identificados. De ahí la ruta de la identidad a $2\pi$ son bucles en $\pi_1(SO(2))$. Sin embargo, una vez que incorporamos $SO(3)$ $SU(2)$ tenemos que ir dos veces, girar por $4\pi$, para volver a la identidad y cerrar un bucle: se excluye a los bucles que se cierra después de un desigual múltiples de $2\pi$ $\pi_1(SO(2))$ y por lo tanto
$$ \pi_1(SO(2)) \neq \pi_1(\tilde{SO(2)}) = \pi_2(SO(3)/SO(2))).$$
Los elementos de $\pi_1(SO(2))$ que se asignan a la trivial elemento de $\pi_1(SO(3))$ son los que van desde la unidad de elemento a una rotación de $2\pi$:
$$\pi_2(SO(3)/SO(2))\cong U(1) $$
donde $U(1)$ es un subgrupo de $SU(2)$, la cobertura de grupo $\tilde{G}$, independientemente de si habíamos considerado $G$ o $\tilde{G}$ como el grupo gauge desde el inicio!
Respuesta rápida: Usted puede considerar siempre el grupo gauge $G$ a ser el simplemente conectadas con el grupo, de tal manera que usted puede utilizar el resultado de la $\pi_2(G/H)=\pi_1(H)$.
