Integrante de$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

Question

Así que tengo que hacer la integración de$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. Dame una pista. ¿Qué debería reemplazar? Debería hacerlo con la integración por partes?

Answer 1

Pista: substituto$x = \tan{y}$; $dx = \sec^2{y} dy$. Entonces $x^2+1 = \sec^2{y}$.

Answer 2

Usted podría utilizar la sustitución $$ \begin{align} &&u&=x+\sqrt{x^2+1},&x&=\frac{u^2-1}{2u} \\ &&\sqrt{x^2+1}&=\frac{u^2+1}{2u},&dx&=\frac{u^2+1}{2u^2}du \end{align} $$ para obtener (a menos que me hizo algún error) $$ \int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx= \int\frac{\frac{u^2+1}{2u}}{\frac{u^2-1}{2u}}\frac{u^2+1}{2u^2}du= \int\frac{(u^2+1)^2}{2u^2(u^2-1)}du= \int\frac{(u^2-1)^2+4u^2}{2u^2(u^2-1)}du= $$ $$ =\int\left(\frac{(u^2-1)^2}{2u^2(u^2-1)}+\frac{4u^2}{2u^2(u^2-1)}\right)\,du= \int\left(\frac{u^2-1}{2u^2}+\frac{2}{u^2-1}\right)\,du= $$ $$ =\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}+\ln|u-1|-\ln|u+1|+C. $$ Ahora acaba de hacer el backsubstitution.

Answer 3

Este problema es mucho más feo de lo que inicialmente parecía. En primer lugar, vamos a traer el denominador bajo el radical.

$$\int\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}dx=\int\sqrt{1+\frac1{x^2}}dx$$.

Ahora vamos a hacer la sustitución rlgordonna sugerido.

$$x=\tan y,dx=\sec^2ydy$$ $$\int\sqrt{1+\frac1{\tan^2y}}\sec^2ydy=\int\sqrt{1+\cot^2y}\sec^2dy=\int\csc y\sec^2ydy$$

Tomará un poco de trabajo de aquí a conseguir que esto se parezca a algo reconocible.

$$\int\csc y(1+\tan^2y)dy=\int\csc ydy+\int\csc y\tan^2ydy$$

Supongo que usted sabe cómo hacer la primera integral. Es similar a la integral de $\sec y$. Ya para la segunda mitad

$$\int\csc y\tan^2ydy=\int\frac1{\sin y}\times\frac{\sin y}{\cos y}\times\tan ydy=\int\sec y\tan ydy$$

que ahora debe estar en una forma que parece familiar.