Regla de ordenación de Weyl

Question

Mientras estudiaba las integrales del camino en la Mecánica Cuántica he encontrado que [Srednicki: Ec. no. 6.6] el Hamiltoniano cuántico $ \hat {H}( \hat {P}, \hat {Q})$ puede darse en términos del clásico Hamiltoniano $H(p,q)$ por

$$ \hat {H}( \hat {P}, \hat {Q}) \equiv \int {dx \over2\pi }\,{dk \over2\pi }\, e^{ix \hat {P} + ik \hat {Q}} \int dp\,dq\,e^{-ixp-ikq}\,H(p,q)\; \tag {6.6}$$

si adoptamos la orden de Weyl.

¿Cómo puedo derivar esta ecuación?

Answer 1

La propiedad básica de ordenamiento de Weyl que genera todas las identidades de ordenamiento de Weyl para las funciones polinómicas es:

$((sq+tp)^n)_W = (sQ+tP)^n$

$(q, p)$ son las variables espaciales de la fase de desplazamiento, $(Q, P)$ son los correspondientes operadores no conmutadores (satisfaciendo $[Q,P] = i \hbar $ ).

Por ejemplo, para n = 2, la identidad proveniente del coeficiente para el $st$ es la conocida identidad básica de ordenamiento de Weyl:

$(qp)_W = \frac {1}{2}(QP+PQ)$

Al elegir el clásico Hamiltoniano como $h(p,q) = (sq+tp)^n$ y realizando cuidadosamente las transformaciones de Fourier y Fourier inversa, obtenemos la identidad de Weyl:

$ \int {dx \over2\pi }{dk \over2\pi } e^{ixP + ikQ} \int dpdqe^{-ixp-ikq} (sq+tp)^n =(sQ+tP)^n $

La integral de Fourier puede ser resuelta después del cambio de variables:

$l = sq+tp, m = tq-sp$

y usando la identidad

$ \int dl e^{-iul} l^n =2 \pi \frac { \partial ^n}{ \partial v^n} \delta_D (v)|_{v=u}$

Donde $ \delta_D $ es la función del delta del Dirac.

Answer 2

Dejar que los operadores de posición e impulso en $n$ las dimensiones del espacio de fase se denoten colectivamente $ \hat {Z}^I$ y dejar que los símbolos correspondientes sean denotados $z^{I}$ donde $I \in\ {1, \ldots ,n\}$ . El operador $ \hat {f}( \hat {Z})$ correspondiente a la Weyl-symbol $f(z)$ es

$$ \hat {f}( \hat {Z})~ \stackrel { \begin {matrix} \text {symmetri-} \\ \text {zation} \end {matrix}}{=}~ \left.\sum_ {m=0}^{ \infty } \frac {1}{m!} \left [ \hat {Z}^1 \frac { \partial }{ \partial z^1}+ \ldots + \hat {Z}^n \frac { \partial }{ \partial z^n} \right ]^m f(z) \right |_{z=0} \qquad $$ $$~ \stackrel { \begin {matrix} \text {Taylor} \\ \text {expan.} \end {matrix}}{=}~ \left.\exp\left [ \sum_ {I=1}^n \hat {Z}^I \frac { \partial }{ \partial z^I} \right ] f(z) \right |_{z=0} \qquad $$ $$~=~ \int_ { \mathbb {R}^{n}} \! d^{n}z~ \delta ^{n}(z)~ \exp\left [ \sum_ {I=1}^n \hat {Z}^I \frac { \partial }{ \partial z^I} \right ] f(z) $$ $$ ~ \stackrel { \delta\text {-fct}}{=}~ \int_ { \mathbb {R}^{2n}} \! \frac {d^{n}z~d^{n}k}{(2 \pi )^{n}} \exp\left [-i \sum_ {J=1}^n k_Jz^J \right ] \exp\left [ \sum_ {I=1}^n \hat {Z}^I \frac { \partial }{ \partial z^I} \right ] f(z)$$ $$~ \stackrel { \text {int. by parts}}{=}~ \int_ { \mathbb {R}^{2n}} \! \frac {d^{n}z~d^{n}k}{(2 \pi )^{n}} f(z)~ \exp\left [- \sum_ {I=1}^n \hat {Z}^I \frac { \partial }{ \partial z^I} \right ] \exp\left [-i \sum_ {J=1}^n k_Jz^J \right ] $$ $$~=~ \int_ { \mathbb {R}^{2n}} \! \frac {d^{n}z~d^{n}k}{(2 \pi )^{n}} f(z)~ \exp\left [i \sum_ {I=1}^n k_I \hat {Z}^I \right ] \exp\left [-i \sum_ {J=1}^n k_Jz^J \right ] $$ $$~ \stackrel { \text {BCH}}{=}~ \int_ { \mathbb {R}^{2n}} \! \frac {d^{n}z~d^{n}k}{(2 \pi )^{n}} f(z)~ \exp\left [i \sum_ {I=1}^n k_I( \hat {Z}^I-z^I) \right ].$$

Las manipulaciones anteriores tienen sentido para una función suficientemente bien llevada $z \mapsto f(z)$ .

Ejemplo: Si el símbolo de Weyl es de la forma $f(z)=g \left ( \sum_ {I=1}^n k_I z^I \right )$ para alguna función analítica $g: \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ entonces el operador correspondiente es $ \hat {f}( \hat {Z})=g \left ( \sum_ {I=1}^n k_I \hat {Z}^I \right )$ .