Editar: La respuesta de David Speyer me ha hecho darme cuenta de un par de cosas y me gustaría aclararlas. Perdonad si la longitud de esto se me va de las manos.
En primer lugar, ahora está claro que no se puede obtener ninguna estimación para $\sigma(\alpha)$ sin obtener también una estimación de la medida de irracionalidad de $\alpha$ . Esto significa que cualquier técnica utilizada para estimar $\sigma(\alpha)$ puede traducirse en una técnica para estimar la medida de irracionalidad, por lo que no será más sencillo como esperaba. Aun así, me pregunto si hay alguna técnica que parezca natural para estimar $\sigma(\alpha)$ (como las transformaciones en serie) que no parecerían naturales sin introducir la serie. Por ejemplo, aunque estoy seguro de que se puede razonar directamente, no habría pensado que la fórmula de la abscisa de convergencia a la que me refería al final en $(3)$ proporcionaría una estimación de la medida de irracionalidad. Por lo tanto, supongo que todavía estoy buscando una manera de acercarse a la convergencia de la serie que no implique simplemente la obtención de una estimación a lo largo del término (que sería esencialmente acotar la medida de irracionalidad primero). Si crees que esto es una tontería, me gustaría oírlo también.
En segundo lugar (y esto podría merecer su propia pregunta si no puedo resolverlo), a la luz de la respuesta de David me pregunto si se puede decir algo más sobre la relación entre $\sigma(\alpha)$ y la medida de irracionalidad. ¿Pueden ser diferentes? Si es así: Sabemos que la medida de irracionalidad de un número algebraico es $2$ ¿hay algún ejemplo en el que podamos calcular explícitamente $\sigma(\alpha)$ ?
Por último, una pequeña corrección en las definiciones: Lo que he estado llamando $\mu(\alpha)$ es en realidad la medida de irracionalidad de $\alpha$ menos uno. Quiero evitar quedarme atrapado en detalles triviales, así que permítanme redefinir $\mu(\alpha)$ para ser el menor límite superior del conjunto de todos los exponentes $s>0$ tal que $\{n\alpha\} \geq n^{-s}$ para todos los casos, excepto para un número finito de $s$ . Todo lo que está por debajo debe permanecer igual.
Pregunta original
Para $x\in\mathbb R$ , dejemos que $\{x\} = x-\lfloor x\rfloor$ sea la parte fraccionaria de $x$ . Estoy buscando una prueba elemental de que existe un número real positivo $s$ tal que $$ \sum_{n = 1}^\infty {1\over n^s\{n\pi\}}<\infty. \tag{1} $$
El problema se resuelve ciertamente invocando el finito medida de irracionalidad de $\pi$ . Se sabe que $$ \{n\pi\} \geq {1\over n^8} \tag{2} $$ para todos los números enteros, excepto los finitos $n$ . (Véase la pregunta de MathOverflow números con medida de irracionalidad conocida para las referencias). Esto implica que $(1)$ converge para $s>9$ . Pero la prueba de $(2)$ está muy involucrado. Hay otros límites más grandes en la medida de irracionalidad de $\pi$ que se conocen desde hace más tiempo y son probablemente más fáciles de probar. Pero la medida de irracionalidad finita, aunque suficiente, no parece necesaria para asegurar la convergencia de $(1)$ . Así que me pregunto si no hay una forma cualitativa de probar que $(1)$ converge para algún $s$ (no es necesario dar un $s$ ). Aunque digo que busco una prueba elemental, me conformaré con una prueba que no se base en el cálculo explícito de la medida de irracionalidad.
La elección de $\pi$ es un poco arbitraria. Hice esa elección para dar un sentido de concreción al problema. Quizá un marco más general para la cuestión sea el siguiente. Para los irracionales $\alpha$ , defina $\sigma(\alpha)$ para ser el abscisa de convergencia para la serie de Dirichlet $$ \sum_{n = 1}^\infty {1\over n^s\{n\alpha\}}. $$ Claramente $\sigma(\alpha)\geq 1$ en cualquier circunstancia. Si $\alpha$ tiene medida de irracionalidad $\mu(\alpha)$ entonces $\sigma(\alpha)\leq \mu(\alpha) + 1$ (desde entonces $(2)$ se mantiene con $\alpha$ en lugar de $\pi$ y $\mu(\alpha)+\epsilon$ en lugar del exponente $8$ para cualquier $\epsilon>0$ ). Pero es concebible que $\sigma(\alpha)$ podría ser mucho menor que $\mu(\alpha)+1$ . De hecho, esto parece probable: Si $s > 1$ y $n_1,n_2,n_3,\dots$ es una secuencia de enteros tal que $\{n_i\alpha\}\leq n_i^{-s}$ , entonces los números $n_i$ debe crecer muy rápido. [ Editar: Como indica la respuesta de David Speyer, esto es claramente una tontería].
Nota: Según la página de Wikipedia sobre serie general de Dirichlet la abscisa $\sigma(\alpha)$ viene dada por \begin {align*} \sigma ( \alpha ) = \limsup_ {n \to\infty }{ \log { \left ({1 \over\ { \alpha\ }}+ \cdots +{1 \over\ {n \alpha\ }} \right )} \over\log {n}}. \tag {3} \end {align*} Acabo de encontrar esta fórmula, así que aún no he jugado con ella. Tal vez podría ayudar a demostrar que $\sigma(\pi)$ es finito.
