Si el límite de una derivada es cero como $x \to \infty$, ¿qué podemos decir acerca de la $f(x+1)-f(x)$?

Question

Dada una función derivable $f$ tal que $$ \lim_{x \+\infty}f'(x) = 0 $$ ¿qué podemos decir acerca de $$ \lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x)) \text{ ?} $$ Mi primer pensamiento fue para decir teorema del valor en $[x,x+1]$, y voy a conseguir que el límite es de $0$, ¿es esto cierto? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dado que el $f$ es diferenciable considerar el intervalo de $[x,x+1]$ y aplicar el teorema del valor medio tenemos $f(x+1)-f(x) = f'(c_x)$ donde $c_x\in (x,x+1)$. Ahora tomando los límites de ambos lados $$\lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x)) = \lim_{x\to\infty}(f'(c_x))$$ where $c\in (x,x+1)$ , so as $x$ tends to infinity , $f'(c_x)$ tiende a cero, como se da en la hipótesis . Por lo tanto,$$\lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x)) =0$$ .